Đề ôn tập kiểm tra cuối kỳ 2 Toán Lớp 11 - Đề 13 (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Đề ôn tập kiểm tra cuối kỳ 2 Toán Lớp 11 - Đề 13 (Có lời giải chi tiết)

1. Đề: ⑬ Đề ôn tập kiểm tra cuối kỳ 2. Môn Toán Lớp 11 File word Full lời giải chi tiết I. TRẮC NGHIỆM (5,0 điểm) Câu 1. Cho hàm số y f x có đồ thị C và điểm M x0 ; y0 C . Khi đó tiếp tuyến của C tại điểm M có hệ số góc là: A. f x0 .B. f x . C. f x x0 . D. f x x0 . Câu 2. Đạo hàm của hàm số y = x là: 2 1 1 A. y . B. y . C. y . D. y 2 x . x x 2 x Câu 3. Cho cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q . Khi đó tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó được tính theo công thức nào sau đây? 1 u u u A. S . B. S 1 .C. S 1 . D. S 1 . 1 q 1 q 1 qn 1 qn   Câu 4. Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a . Tính AB.A D . A' D' B' C' A D B C a 2 A. a2 . B. a 2 . C. 0 . D. . 2 Câu 5. Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu d  và a  thì d  a . B. Nếu d  thì d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong . C. Nếu d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong . D. Nếu d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong thì d  . Câu 6. Trong không gian cho đường thẳng và điểm O . Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với ? A. 2 . B. Vô số.C. 1. D. 3 . Câu 7. Đạo hàm của hàm số y cos x là 1 A. y sin x . B. y tan x .C. y .D. y sin x . tan2 x
2. Câu 8. Tính giới hạn I lim x2 x 1 . x 1 A. I 3 .B. I 1.C. I .D. I 2 . Câu 9. Tính giới hạn H lim x3 . x A. H 0 .B. H . C. H 3 .D. H . Câu 10. Cho hàm số f x thỏa mãn lim f x 2018 và lim f x 2018 . Khi đó khẳng định x 2018 x 2018 nào sau đây là đúng: A. lim f x 0 . B. lim f x 2018. x 2018 x 2018 C. lim f x 2018 . D.Không tồn tại lim f x . x 2018 x 2018 Câu 11. Tính chất nào sau đây không phải là tính chất của hình lăng trụ đứng? A. Các mặt bên của hình lăng trụ đứng vuông góc với nhau. B. Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật. C. Các cạnh bên của hình lăng trụ đứng bằng nhau và song song với nhau. D. Hai đáy của hình lăng trụ đứng có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau. 2 Câu 12. Đạo hàm của hàm số f x 3x2 1 tại x 1 là. A. f '(1) 4 . B. f '(1) 4 . C. f '(1) 24 . D. f '(1) 8 . 2n 1 Câu 13. Tính giới hạn lim n 1 A. . B. .C. 2 . D. 1. f x sin 2x x Câu 14. Vi phân của hàm số tại điểm 3 ứng với x 0,01 là: A. 0,1. B. 0,01. C. 1,1. D. 10. 3 2 C C M 1;3 Câu 15. Cho hàm số y x 3x 1 có đồ thị . Phương trình tiếp tuyến của tại điểm là: A. y 3x . B. y x 3 . C. y 9x 6 . D. y 9x 6 Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông và SA  ABCD . Gọi là góc giữa SC và mặt phẳng ABCD . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A. ·ASC .B. S· CA. C. S· AC .D. S· BA. Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA  ABCD . Các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây là sai?
3. A. SA  BD .B. SC  BD .C. SO  BD .D. AD  SC . Câu 18. Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Gọi O là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức đúng?  1     1    A. AO AB AD AA .B. AO AB AD AA . 3 2  1     2    C. AO AB AD AA .D. AO AB AD AA . 4 3 Câu 19. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0. n n 1 3 n n A. un . B. un .C. un 2 .D. un 2018 . 2 2 Câu 20. Hàm số y f x có đồ thị dưới đây gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu? A. 0 . B. 1. C. 3 . D. 2 . sin3 x cos3 x Câu 21. Cho hàm số y . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 sin x.cos x A. y y 0 .B. 2y 3y 0 .C. 2y y 0 .D. y y 0 . x3 8 khi x 2 Câu 22. Cho hàm số f x x 2 . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số mx 1 khi x 2 liên tục tại x 2 . 17 11 15 13 A. m .B. m .C. m .D. m . 2 2 2 2 Câu 23. Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A C bằng: a 3 A. . B. 2a . C. a . D. 3a . 2 x 2 Câu 24. Cho hàm số y có đồ thị C và điểm A a;1 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực x 1 của a để có đúng một tiếp tuyến của C đi qua A . Tổng tất cả giá trị của phần tử S bằng 3 5 1 A. 1.B. . C. .D. . 2 2 2 Câu 25. Cho hàm số f x x x2 1 . Tập các giá trị của x để 2x. f ' x f x 0 là
4. 1 1 2 1 A. ; . B. ; .C. ; . D. ; . 3 3 3 3 Tự luận Câu 1. (1,5 điểm) Tìm giới hạn: x 1 a) lim . x 2x 1 b) lim x3 x2 2018 . x 3 x2 x 1 c) lim . x 3 x 3 Câu 2. (2,0 điểm) 1) Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y tan x 2x3 . b) y x.sin x 1 cos2 2x . 1 2) Cho hàm số y x2 3x có đồ thị C . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại 2 điểm có hoành độ x0 2 . 3) Cho đa thức P(x) bậc 3 và có 3 nghiệm phân biệt x1, x2 , x3 . Chứng minh rằng: 1 1 1 0 . P'(x1 ) P'(x2 ) P'(x3 ) Câu 3. (1,5 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA  ABC , góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABC bằng 60. Gọi M là trung điểm BC . a) Chứng minh SA  AM , SAM  SBC . b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB . HƯỚNG DẪN GIẢI I. TRẮC NGHIỆM (5,0 điểm) Câu 1. Cho hàm số y f x có đồ thị C và điểm M x0 ; y0 C . Khi đó tiếp tuyến của C tại điểm M có hệ số góc là: A. f x0 .B. f x . C. f x x0 . D. f x x0 . Lời giải Chọn A. Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm. Câu 2. Đạo hàm của hàm số y = x là: 2 1 1 A. y . B. y . C. y . D. y 2 x . x x 2 x Lời giải Chọn C. ¢ 1 Ta có ( x) = với mọi x 0 . 2 x Câu 3. Cho cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q . Khi đó tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó được tính theo công thức nào sau đây? 1 u u u A. S . B. S 1 .C. S 1 . D. S 1 . 1 q 1 q 1 qn 1 qn
5. Lời giải Chọn B. u Ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó được tính theo công thức S 1 . 1 q   Câu 4. Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a . Tính AB.A D . A' D' B' C' A D B C a 2 A. a2 . B. a 2 . C. 0 . D. . 2 Lời giải Chọn C.     Ta có AB  A D nên AB.A D 0 . Câu 5. Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu d  và a  thì d  a . B. Nếu d  thì d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong . C. Nếu d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong . D. Nếu d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong thì d  . Lời giải Chọn D. Ta có định lí: “Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ”. Câu 6. Trong không gian cho đường thẳng và điểm O . Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với ? A. 2 . B. Vô số.C. 1. D. 3 . Lời giải Chọn B. Qua O có vô số đường thẳng vuông góc với , chúng nằm trong mặt phẳng qua O và vuông góc với . Câu 7. Đạo hàm của hàm số y cos x là 1 A. y sin x . B. y tan x .C. y .D. y sin x . tan2 x Lời giải Chọn D.
6. Câu 8. Tính giới hạn I lim x2 x 1 . x 1 A. I 3 .B. I 1.C. I .D. I 2 . Lời giải Chọn A. Ta có I lim x2 x 1 1 1 1 3 . x 1 Câu 9. Tính giới hạn H lim x3 . x A. H 0 .B. H . C. H 3 .D. H . Lời giải Chọn D. Câu 10. Cho hàm số f x thỏa mãn lim f x 2018 và lim f x 2018 . Khi đó khẳng định x 2018 x 2018 nào sau đây là đúng: A. lim f x 0 . B. lim f x 2018. x 2018 x 2018 C. lim f x 2018 . D.Không tồn tại lim f x . x 2018 x 2018 Lời giải Chọn D. Ta thấy lim f x lim f x nên không tồn tại lim f x . x 2018 x 2018 x 2018 Câu 11. Tính chất nào sau đây không phải là tính chất của hình lăng trụ đứng? A. Các mặt bên của hình lăng trụ đứng vuông góc với nhau. B. Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật. C. Các cạnh bên của hình lăng trụ đứng bằng nhau và song song với nhau. D. Hai đáy của hình lăng trụ đứng có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau. Lời giải Chọn A.
7. 2 Câu 12. Đạo hàm của hàm số f x 3x2 1 tại x 1 là. A. f '(1) 4 . B. f '(1) 4 . C. f '(1) 24 . D. f '(1) 8 . Lời giải Chọn C. f ' x 2 3x2 1 6x =12x. 3x2 1 . 2 Do đó f ' 1 12 3 1 24 2n 1 Câu 13. Tính giới hạn lim n 1 A. . B. .C. 2 . D. 1. Lời giải Chọn C. 1 2 2n 1 Ta có: lim lim n 2 1 . n 1 1 n f x sin 2x x Câu 14. Vi phân của hàm số tại điểm 3 ứng với x 0,01 là: A. 0,1. B. 0,01. C. 1,1. D. 10. Lời giải Chọn B df x sin 2x . x 2cos 2x. x x df x 2cos 2 .0.01 0.01 tại điểm 3 ứng với x 0,01 suy ra: 3 . 3 2 C C M 1;3 Câu 15. Cho hàm số y x 3x 1 có đồ thị . Phương trình tiếp tuyến của tại điểm là: A. y 3x . B. y x 3 . C. y 9x 6 . D. y 9x 6 Lời giải Chọn A y 3x2 6x C M 1;3 y y 1 x 1 3 Phương trình tiếp tuyến của tại điểm là: y 3 x 1 3 y 3x . Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông và SA  ABCD . Gọi là góc giữa SC và mặt phẳng ABCD . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A. ·ASC .B. S· CA. C. S· AC .D. S· BA.
8. Lời giải Chọn B. S D A B C Hình chiếu của SC lên ABCD là AC SC, AC S· CA. Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA  ABCD . Các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây là sai? A. SA  BD .B. SC  BD .C. SO  BD .D. AD  SC . Lời giải Chọn B. S D A O B C BD  SA BD  SC. BD  AC Câu 18. Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Gọi O là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức đúng?  1     1    A. AO AB AD AA .B. AO AB AD AA . 3 2  1     2    C. AO AB AD AA .D. AO AB AD AA . 4 3 Lời giải Chọn B.
9. B' C' a A' D' O B C A D      1  1    Quy tắc hình hộp AC AB AD AA AO AC AB AD AA . 2 2 Câu 19. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0. n n 1 3 n n A. un . B. un .C. un 2 .D. un 2018 . 2 2 Lời giải Chọn A. Câu 20. Hàm số y f x có đồ thị dưới đây gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu? A. 0 . B. 1. C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn B. sin3 x cos3 x Câu 21. Cho hàm số y . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 sin x.cos x A. y y 0 .B. 2y 3y 0 .C. 2y y 0 .D. y y 0 . Lời giải Chọn D. 2 2 sin3 x cos3 x sin x cos x sin x cos x sin x.cos x Ta có: y sin x cos x 1 sin x.cos x 1 sin x.cos x Suy ra: y cos x sin x , y sin x cos x sin x cos x y Do đó: y y 0 .
10. x3 8 khi x 2 Câu 22. Cho hàm số f x x 2 . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số mx 1 khi x 2 liên tục tại x 2 . 17 11 15 13 A. m .B. m .C. m .D. m . 2 2 2 2 Lời giải Chọn B f 2 2m 1. x3 2 lim f x lim lim x2 2x 4 12 . x 2 x 2 x 2 x 2 11 Hàm số liên tục tại x 2 f 2 lim f x 2m 1 12 m . x 12 2 Câu 23. Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A C bằng: a 3 A. . B. 2a . C. a . D. 3a . 2 Lời giải Chọn C. A C  A B C D DB// A B C D Ta có: d BD; A C d ABCD ; A B C D a . A C // ABCD BD  (ABCD) x 2 Câu 24. Cho hàm số y có đồ thị C và điểm A a;1 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực x 1 của a để có đúng một tiếp tuyến của C đi qua A . Tổng tất cả giá trị của phần tử S bằng 3 5 1 A. 1.B. . C. .D. . 2 2 2 Lời giải Chọn C. x0 2 1 Gọi M (x0 ; ) (C) . Ta có y ' 2 Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M là x0 1 (x 1) x0 2 1 y 2 (x x0 ) . x0 1 (x0 1)
11. x0 2 1 2x0 3 x0 a Tiếp tuyến d đi qua A 1 2 (a x0 ) 2 x0 1 (x0 1) x0 1 (x0 1) x0 1 x0 1 . 2 (2x0 3)(x0 1) x0 a 2x0 6x0 3 a 0 (*) Để có đúng 1 tiếp tuyến đi qua A thì (*) có đúng 1 nghiệm x0 1. • TH1: (*) có nghiệm kép khác 1. ' 9 2(3 a) 0 3 Ta có 6 a . 1 2 2.2 • TH2: (*) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1. ' 9 2(3 a) 0 Ta có a 1. 2 6 3 a 0 3 Suy ra S 1;  2 5 Vậy tổng số cần tìm là . 2 Câu 25. Cho hàm số f x x x2 1 . Tập các giá trị của x để 2x. f ' x f x 0 là 1 1 2 1 A. ; . B. ; . C. ; . D. ; . 3 3 3 3 Lời giải Chọn D. x x f ' x 1 , do đó 2x. f ' x f x 0 2x 1 x x2 1 0 2 2 x 1 x 1 2x2 x x2 1 0 x x2 1 2x2 x2 1 x x2 1 x2 1 0 . x2 1 Sử dụng máy tính thử: 1 1 4 1 Với x ta được: 1 0 : Đúng Đáp án là D. 3 3 3 3 II. PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 1. (1,5 điểm) Tìm giới hạn: x 1 a) lim . x 2x 1 b) lim x3 x2 2018 . x 3 x2 x 1 c) lim . x 3 x 3 Lời giải
12. 1 1 x 1 1 a) lim lim x . x x 1 2x 1 2 2 x b) lim(x3 x2 2018) 33 32 2018 2036 . x 3 x2 x 1 c) lim . x 3 x 3 Vì lim x2 x 1 13 0 , lim x 3 0 và x 3 x 3 0 . x 3 x 3 Câu 2. (2,0 điểm) 1) Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y tan x 2x3 . b) y x.sin x 1 cos2 2x . 1 2) Cho hàm số y x2 3x có đồ thị C . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại 2 điểm có hoành độ x0 2 . 3) Cho đa thức P(x) bậc 3 và có 3 nghiệm phân biệt x1, x2 , x3 . Chứng minh rằng: 1 1 1 0 . P'(x1 ) P'(x2 ) P'(x3 ) Lời giải 1 1) a) y tan x 2x3 y ' 6x2 . cos2 x sin 4x b) y x.sin x 1 cos2 2x y ' sin x xcos x . 1 cos2 2x 2) Ta có: y ' x 3 y ' 2 5 và y0 8 Phương trình tiếp tuyến: y 5 x 2 8 5x 2 3) Ta có P x x x1 x x2 x x3 P' x x x2 x x3 x x1 x x3 x x1 x x2 . Khi đó P' x1 x1 x2 x1 x3 ; P' x2 x2 x1 x2 x3 ; P' x3 x3 x1 x3 x2 . 1 1 1 x x x x x x Do đó: 3 2 1 3 2 1 0 . P' x1 P' x2 P' x3 x1 x2 x2 x3 x3 x1 Câu 3. (1,5 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA  ABC , góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABC bằng 60. Gọi M là trung điểm BC . a) Chứng minh SA  AM , SAM  SBC . b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB . Lời giải a)
13. S H A C M E F B SA  ABC  Ta có:  SA  AM AM  ABC  BC  SA   BC  SAM SAM  SBC BC  AM  b) Dựng hình thoi ACBE ta có: AC // BE AC // SBE Nên d AC,SB d AC, SBE d A, SBE Gọi F là trung điểm BE , kẻ AH  SF BE  AF   BE  SAF BE  AH . Do đó AH  SBE BE  SA  Khi đó d A, SBE AH a 3 Ta có: AF ; SA AB.tan 600 a 3 2 AH.SA a 15 AH . AH 2 SA2 5 a 15 Vậy d AC,SB . 5