Đề ôn tập kiểm tra cuối kỳ 2 Toán Lớp 11 - Đề 6 (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Đề ôn tập kiểm tra cuối kỳ 2 Toán Lớp 11 - Đề 6 (Có lời giải chi tiết)

1. Đề: ➅ Đề ôn tập kiểm tra cuối kỳ 2. Môn Toán Lớp 11 File word Full lời giải chi tiết 3n 5n Câu 1. lim bằng 1 5n Ⓐ. . Ⓑ. 3 .Ⓒ. 1. Ⓓ. 2 . Câu 2. Tính lim 2x 3 . x 2 Ⓐ. 2 . Ⓑ. 0 .Ⓒ. 1. Ⓓ. . Câu 3. Một chất điểm chuyển động có phương trình s t3 t 2 t 4 ( t là thời gian tính bằng giây). Gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc đạt giá trị lớn nhất là Ⓐ. 6 .Ⓑ. 0 .Ⓒ. 2 .Ⓓ. 4 . Câu 4. Kết luận nào sau đây là sai? 1 Ⓐ. y liên tục trên 0; . Ⓑ. y 3 x liên tục trên R . x Ⓒ. y tan x liên tục trên 0; .Ⓓ. y sin x x2 liên tục trên R . 3 Câu 5. Cho hàm số g x 9x x2 . Tìm tất cả giá trị của x để đạo hàm của hàm số g x dương? 2 Ⓐ. x 3 .Ⓑ. x 3 .Ⓒ. x 6 .Ⓓ. x 3. 6 3n 2n2 Câu 6. lim bằng n2 5 Ⓐ. .Ⓑ. 6 .Ⓒ. 2 .Ⓓ. 0 . Câu 7. Một chất điểm chuyển động có phương trình s t 2 (t tính bằng giây, s tính bằng mét). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t0 3 (giây) bằng Ⓐ. 6 m / s .Ⓑ. 5 m / s .Ⓒ. 2 m / s .Ⓓ. 3 m / s . Câu 8. Góc giữa hai đường thẳng bất kì trong không gian là góc giữa Ⓐ. Hai đường thẳng cắt nhau và không song song với chúng. Ⓑ. Hai đường thẳng lần lượt vuông góc với chúng. Ⓒ. Hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với chúng. Ⓓ. Hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt vuông góc với chúng. 3 2 Câu 9. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y 2x 3x 2 tại điểm có hoành độ x0 2 là Ⓐ. 18.Ⓑ. 12.Ⓒ. 6 .Ⓓ. 14. Câu 10. Tính đạo hàm của hàm số y tan x trên tập xác định của nó. 1 1 1 1 Ⓐ. y .Ⓑ. y .Ⓒ. .Ⓓ. y . sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x Câu 11. Biết limun và limvn . Khẳng định nào sau đây sai ?
2. 1 Ⓐ. lim(un vn ) .Ⓑ. lim 0 .Ⓒ. lim( 3vn ) .Ⓓ. lim(un vn ) 0 . un 1 cos x Câu 12. Kết quả lim là x 0 x2 1 Ⓐ. 8.Ⓑ. .Ⓒ. 2 .Ⓓ. 2 . 2 x2 2x 1 Câu 13. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim là? x 1 2x 2 1 Ⓐ. .Ⓑ. 0 .Ⓒ. .Ⓓ. . 2 Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA SC, SB SD . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? Ⓐ. SA  BD .Ⓑ. SD  AC .Ⓒ. AC  SA.Ⓓ. AC  BD . 3x x2 1 Câu 15. lim bằng x 2 x 1 Ⓐ. 1.Ⓑ. 2 .Ⓒ. 2 .Ⓓ. 1. Câu 16. Cho hình chóp đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng a . Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy của hình chóp S.ABC bằng với 3 3 Ⓐ. cos .Ⓑ. tan .Ⓒ. 45.Ⓓ. 60. 3 3 x2 3x 2 Câu 17. Kết quả lim là x 1 x 1 Ⓐ. 1.Ⓑ. 3 .Ⓒ. 0 .Ⓓ. . Câu 18. Đạo hàm của hàm số y 5sin x 3cos x bằng: Ⓐ. cos x sin x .Ⓑ. 5cos x 3sin x .Ⓒ. cos x 3sin x .Ⓓ. 5cos x 3sin x . Câu 19. Mệnh đề nào sau đây là đúng? Ⓐ. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. Ⓑ. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau. Ⓒ. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. Ⓓ. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. Câu 20. Giả sử lim f (x) a và lim g(x) b . Mệnh đề nào dưới đây sai? x x0 x x0 f (x) a Ⓐ. lim .Ⓑ. lim  f (x) g(x) a b . x x0 g(x) b x x0 Ⓒ. lim  f (x).g(x) a.b .Ⓓ. lim  f (x) g(x) a b . x x0 x x0 Câu 21. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Ⓐ . Nếu hàm số y f x liên tục tại x0 thì hàm số có đạo hàm tại x0 .
3. Ⓑ . Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại x0 thì hàm số gián đoạn tại x0 . Ⓒ . Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại x0 thì hàm số liên tục tại x0 . Ⓓ . Nếu hàm số y f x gián đoạn tại x0 thì hàm số có đạo hàm tại x0 . Câu 22. Cho hàm số y sin 2x . Hãy chọn câu đúng? Ⓐ. 4y y" 0 .Ⓑ. y2 y ' 2 4 .Ⓒ. 4y y" 0.Ⓓ. y y'tan2x . 2x2 3x Câu 23. Đạo hàm cấp hai của hàm số y là 1 x 1 Ⓐ 2 Ⓑ Ⓒ 2 Ⓓ 2 . y . . y 2 3 . . y . . y . 1 x 4 (1 x) 1 x 3 1 x 3 Câu 24. Cho f x x3 3x2 1. Tìm tất cả các giá trị thực của x sao cho f x 0 . x 0 x 0 Ⓐ. 0 x 2 .Ⓑ. x 1.Ⓒ. .Ⓓ. . x 2 x 1 1 1 Câu 25. Tính lim 2 2 . x 2 x 3x 2 x 5x 6 Ⓐ. 2. Ⓑ. .Ⓒ. 2. Ⓓ. 0. x 1 x 3 Câu 26. Tính lim . x 1 1 x2 Ⓐ. 0. Ⓑ. 1. Ⓒ. 1. Ⓓ. 2. a 3 Câu 27. Cho hình chóp tứ giác đều, có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng . Số đo của góc giữa 2 mặt bên và mặt đáy bằng Ⓐ. 90 .Ⓑ. 30 .Ⓒ. 45.Ⓓ. 60 . 3 2 Câu 28. Tính số gia y của hàm số y x x tại điểm x0 1 ứng với số gia x 1. Ⓐ. y 0 .Ⓑ. y 4 .Ⓒ. y 1.Ⓓ. y 2 . Câu 29. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 2x 4 tại điểm M 0; 4 có phương trình là Ⓐ. y 2x .Ⓑ. y 2x 2 .Ⓒ. y 2x 4 .Ⓓ. y 2x 4 . Câu 30. Đạo hàm của hàm số y x2 2020x là x 1010 2x 2020 x 1010 Ⓐ. y .Ⓑ. y 2x 2020 .Ⓒ. y .Ⓓ. y . 2 x2 2020x x2 2020x x2 2020x Câu 31. Trong hình lập phương, mỗi mặt bên là Ⓐ. hình bình hành.Ⓑ. hình vuông.Ⓒ. hình tam giác.Ⓓ. hình thoi. Câu 32. Cho hình hộp ABCD.A' B 'C ' D ' . Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng?
4.         Ⓐ. BA BC BB ' BC ' .Ⓑ. BA BC BB ' BD ' .         Ⓒ. BA BC BB ' BD .Ⓓ. BA BC BB ' BA'. Câu 33. Đạo hàm của hàm số y x 2 x2 1 là 2x2 2x 1 2x2 2 2x2 2x 2 2x2 2x 1 Ⓐ. y .Ⓑ. y .Ⓒ. y .Ⓓ. y . x2 1 x2 1 x2 1 x2 1 Câu 34. Tính lim 2x3 4x2 5 x Ⓐ. .Ⓑ. .Ⓒ. 3 .Ⓓ. 2 . x2 ax 1 Câu 35. Biết lim 3. Khi đó giá trị của a là x 1 x 1 Ⓐ. 4.Ⓑ. 0.Ⓒ. 4 .Ⓓ. 3. 2mx2 3x 2 khi x 1 Câu 36. Với giá trị nào của m thì hàm số f x liên tục trên ¡ ? 3x 4 khi x 1 Ⓐ. m 4 .Ⓑ. m 3.Ⓒ. m 3 .Ⓓ. m 4 . 4x 3 A. Câu 37. lim có kết quả là x 3 x 3 Ⓐ. 9 .Ⓑ. 0 .Ⓒ. .Ⓓ. . 1 Câu 38. Cho hàm số y f x mx x3 . Với giá trị nào của m thì x 1 là nghiệm của bất phương 3 trình f x 2. Ⓐ. m 3 .Ⓑ. m 3 .Ⓒ. m 1.Ⓓ. m 3 . 2x Câu 39. Cho hàm số y có đồ thị C . Phương trình tiếp tuyến của C song song với đường x 1 thẳng : x 2y 1 0 là 1 9 1 9 Ⓐ. y x .Ⓑ. y x 9 .Ⓒ. y x 9 .Ⓓ. y x . 2 2 2 2 Câu 40. Hàm số nào sau đây không liên tục trên ¡ ? 1 Ⓐ. y x .Ⓑ. y x3 1.Ⓒ. y .Ⓓ. y x 1. x Câu 41. Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng 0 ?
5. Lời giải Chọn C SA SC Ta có SO  AC . OA OC Tương tự : SO  BD . Nên SO  ABCD . Mặt khác ABCD là hình thoi nên : AC  BD . +) AC là hình chiếu vuông góc của SA trên ABCD , AC  BD SA  BD . +) Tương tự, ta cũng có : SD  AC . +)Tam giác SAO vuông tại O AC, SA không vuông góc. +) Mặt khác ABCD là hình thoi nên : AC  BD . S A D O B C 3x x2 1 Câu 15. lim bằng x 2 x 1 A. 1. B. 2 .C. 2 . D. 1. Lời giải Chọn D 1 1 1 3x x 1 3x x 1 3 1 3x x2 1 2 2 x2 lim lim x lim x lim 1. x x x x 1 2 x 1 2 x 1 2x 1 2 x Câu 16. Cho hình chóp đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng a . Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy của hình chóp S.ABC bằng với 3 3 A. cos . B. tan .C. 45.D. 60. 3 3 Lời giải Chọn A
6. Gọi O là tâm của tam giác ABC . Ta có SA ABC A 1 SO  ABC tại O 2 Từ 1 và 2 suy ra OA là hình chiếu của SA lên mặt phẳng ABC Khi đó ·SA, ABC ·SA,OA S· AO . a AO 3 SAO vuông tại O nên cos 3 . SA a 3 x2 3x 2 Câu 17. Kết quả lim là x 1 x 1 A. 1. B. 3 . C. 0 .D. . Lời giải Chọn A x2 3x 2 x 1 x 2 lim lim lim x 2 1. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Câu 18. Đạo hàm của hàm số y 5sin x 3cos x bằng: A. cos x sin x . B. 5cos x 3sin x . C. cos x 3sin x .D. 5cos x 3sin x . Lời giải Chọn B Ta có y 5cos x 3sin x . Câu 19. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau. C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. Lời giải Chọn C
7. A' D' B' C' A D B C Xét hình lập phương ABCD.A B C D . + A'B' và A'C ' cùng song song với ABCD nên A sai. + A'B' và A'C ' cùng vuông góc với AA' nên B và D sai. Câu 20. Giả sử lim f (x) a và lim g(x) b . Mệnh đề nào dưới đây sai? x x0 x x0 f (x) a A. lim . B. lim  f (x) g(x) a b . x x0 g(x) b x x0 C. lim  f (x).g(x) a.b . D. lim  f (x) g(x) a b . x x0 x x0 Lời giải Chọn A Khi b 0 thì câu A sai. Câu 21. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Nếu hàm số y f x liên tục tại x0 thì hàm số có đạo hàm tại x0 . B. Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại x0 thì hàm số gián đoạn tại x0 . C. Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại x0 thì hàm số liên tục tại x0 . D. Nếu hàm số y f x gián đoạn tại x0 thì hàm số có đạo hàm tại x0 . Lời giải Chọn C Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại x0 thì hàm số liên tục tại x0 . Câu 22. Cho hàm số y sin 2x . Hãy chọn câu đúng? A. 4y y" 0 .B. y2 y ' 2 4 .C. 4y y" 0.D. y y'tan2x . Lời giải Chọn C Ta có y' 2cos2x ; y" 4sin 2x . Suy ra 4y y" 4sin 2x 4sin 2x 0 .
8. 2x2 3x Câu 23. Đạo hàm cấp hai của hàm số y là 1 x 1 2 2 2 A. y . B. y 2 3 . C. y .D. y . 1 x 4 (1 x) 1 x 3 1 x 3 Lời giải Chọn C 2x2 3x 2x2 3x 1 y 2x 1 . 1 x x 1 x 1 1 1 y 2x 1 2 2 . x 1 x 1 2 x 1 1 2 x 1 2 y 2 2 4 4 3 . x 1 x 1 x 1 1 x Câu 24. Cho f x x3 3x2 1. Tìm tất cả các giá trị thực của x sao cho f x 0 . x 0 x 0 A. 0 x 2 . B. x 1. C. . D. . x 2 x 1 Lời giải Chọn A f x 3x2 6x . f x 0 3x2 6x 0 x2 2x 0 0 x 2 . 1 1 Câu 25. Tính lim 2 2 . x 2 x 3x 2 x 5x 6 A. 2. B. .C. 2. D. 0. Lời giải Chọn C 1 1 2x2 8x 8 lim 2 2 lim x 2 x 3x 2 x 5x 6 x 2 x2 3x 2 x2 5x 6 2 2 x 2 2 lim lim 2 . x 2 x 1 x 2 x 2 x 3 x 2 x 1 x 3 x 1 x 3 Câu 26. Tính lim . x 1 1 x2 A. 0. B. 1. C. 1. D. 2. Lời giải Chọn C x 1 x 3 x 1 x 3 x 3 lim lim lim 1. x 1 1 x2 x 1 1 x 1 x x 1 1 x a 3 Câu 27. Cho hình chóp tứ giác đều, có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng . Số đo của góc giữa 2 mặt bên và mặt đáy bằng
9. A. 90 . B. 30 . C. 45. D. 60 . Lời giải Chọn D S A D M I B C Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a và I là tâm hình a 3 vuông ABCD . Khi đó SI  ABCD nên chiều cao của hình chóp là SI . 2 Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB . Vì IM là đường trung bình của tam giác ABD suy ra IM //AD . Mặt khác AB  AD (do ABCD là hình vuông). Do đó IM  AB . S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên tam giác SAB cân tại S SM  AB . Ta có: SAB  ABCD AB ; SM  SAB ; SM  AB ; IM  ABCD ; IM  AB nên ·SAB , ABCD S·M , IM S· MI . SI a 3 2 Xét tam giác SMI vuông tại I , ta có: tan S· MI . 3 . Suy ra S· MI 60 . MI 2 a Vậy góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60 . 3 2 Câu 28. Tính số gia y của hàm số y x x tại điểm x0 1 ứng với số gia x 1. A. y 0 . B. y 4 . C. y 1. D. y 2 . Lời giải Chọn B Đặt f x x3 x2 . y f x x0 f x0 f 2 f 1 4 . Vậy y 4 . Câu 29. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 2x 4 tại điểm M 0; 4 có phương trình là A. y 2x . B. y 2x 2 . C. y 2x 4 . D. y 2x 4 . Lời giải Chọn C * Đặt f x x3 2x 4 f x 3x2 2 f 0 2 . * Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 2x 4 tại điểm M 0; 4 là y 2 x 0 4 y 2x 4 .
10. Câu 30. Đạo hàm của hàm số y x2 2020x là x 1010 2x 2020 x 1010 A. y . B. y 2x 2020 . C. y . D. y . 2 x2 2020x x2 2020x x2 2020x Lời giải Chọn D 2 x 2020x x 1010 * Ta có: y . 2 x2 2020x x2 2020x Câu 31. Trong hình lập phương, mỗi mặt bên là A. hình bình hành. B. hình vuông.C. hình tam giác. D. hình thoi. Lời giải Chọn B Hình lập phương có tất cả các mặt đều là hình vuông. Chọn đáp án B. Câu 32. Cho hình hộp ABCD.A' B 'C ' D ' . Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng?         A. BA BC BB ' BC ' . B. BA BC BB ' BD ' .         C. BA BC BB ' BD .D. BA BC BB ' BA'. Lời giải Chọn B    Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: BA BC BD .       Suy ra BA BC BB ' BD BB ' BD ' . Câu 33. Đạo hàm của hàm số y x 2 x2 1 là 2x2 2x 1 2x2 2 2x2 2x 2 2x2 2x 1 A. y . B. y . C. y .D. y . x2 1 x2 1 x2 1 x2 1 Lời giải Chọn A x x2 1 x x 2 2x2 2x 1 Ta có: y x2 1 . x 2 . Chọn A. x2 1 x2 1 x2 1 Câu 34. Tính lim 2x3 4x2 5 x A. . B. .C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn A
11. 3 2 3 4 5 Ta có: lim 2x 4x 5 lim x 2 3 . Chọn A. x x x x x2 ax 1 Câu 35. Biết lim 3. Khi đó giá trị của a là x 1 x 1 A. 4. B. 0. C. 4 . D. 3. Lời giải Chọn C x2 ax 1 12 a.1 1 Có lim 3 3 a 4 . x 1 x 1 1 1 2mx2 3x 2 khi x 1 Câu 36. Với giá trị nào của m thì hàm số f x liên tục trên ¡ ? 3x 4 khi x 1 A. m 4 . B. m 3. C. m 3 . D. m 4 . Lời giải Chọn A Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng ;1 và 1; . Để hàm số liên tục trên ¡ thì hàm số phải liên tục tại x 1 lim f (x) f (1) x 1 lim f (x) lim f (x) f (1) 3.1 4 2m 3 2 2m 3 2 m 4 x 1 x 1 4x 3 B. Câu 37. lim có kết quả là x 3 x 3 A. 9 . B. 0 . C. . D. . Lời giải Chọn D 4x 3 lim 4x 3 9 0 , lim x 3 0 và x 3 0 với mọi x 3 nên lim . x 3 x 3 x 3 x 3 1 Câu 38. Cho hàm số y f x mx x3 . Với giá trị nào của m thì x 1 là nghiệm của bất phương 3 trình f x 2. A. m 3 . B. m 3 . C. m 1. D. m 3 . Lời giải Chọn B Ta có f x m x2 . f x 2 m x2 2 x2 m 2 . Để x 1 là nghiệm của bất phương trình f x 2 thì 1 m 2 m 3 . 2x Câu 39. Cho hàm số y có đồ thị C . Phương trình tiếp tuyến của C song song với x 1 đường thẳng : x 2y 1 0 là 1 9 1 9 A. y x . B. y x 9 .C. y x 9 .D. y x . 2 2 2 2
12. Lời giải Chọn D 1 1 1 Đường thẳng : x 2y 1 0 y x có hệ số góc bằng . 2 2 2 Vì tiếp tuyến của C song song với đường thẳng nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 . 2 1 Gọi M x ; y C tại đó tiếp tuyến có hệ số góc bằng , khi đó x là nghiệm của 0 0 0 2 0 1 2 1 x0 1 y0 1 phương trình y ' 2 2 2 x 3 y 3 x0 1 0 0 1 1 Với x 1; y 1 tiếp tuyến có phương trình y x 0 0 2 2 1 9 Với x 3; y 3 tiếp tuyến có phương trình y x 0 0 2 2 Câu 40. Hàm số nào sau đây không liên tục trên ¡ ? 1 A. y x . B. y x3 1. C. y .D. y x 1. x Lời giải Chọn C 1 Ta có hàm số y có tập xác định là D ¡ \ 0 nên hàm số không liên tục trên ¡ . x Câu 41. Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng 0 ? x 1 2x 5 x2 1 A. lim . B. lim .C. lim .D. lim x2 1 x . x 1 x3 1 x 2 x 10 x 2 x2 3x 2 x Lời giải Chọn D x 1 x 1 1 1 + lim lim lim (loại đáp án A). x 1 x3 1 x 1 x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 3 2x 5 1 + lim (loại đáp án B). x 2 x 10 8 x2 1 3 + lim (loại đáp án C). x 2 x2 3x 2 4 1 + lim x2 1 x lim 0 (chọn đáp án D). x x x2 1 x Câu 42. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị y f (x) 3x2 x 3 tại điểm có hoành độ bằng 1 là A. y 5x 6 . B. y 5x 6 . C. y 5x 6 .D. y 5x 6 . Lời giải Chọn C Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M x0 ; y0 có dạng y k x x0 y0 , trong đó:
13. Hoành độ tiếp điểm x0 1. Tung độ tiếp điểm y0 f (1) 1. Hệ số góc của tiếp tuyến k f (1) 5 (với f (x) 6x 1) Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M 1;1 là y 5x 6 . 2 3 4 2n 1 Câu 43. Tính tổng S 1.2.C2n 1 2.3.C2n 1 3.4.C2n 1 2n. 2n 1 C2n 1 . A. S 0 . B. S 2n 1 .22n . C. S 1.D. S 22n 1 . Lời giải Chọn A 2n 1 0 1 2 2 3 3 4 4 2n 1 2n 1 Xét khai triển: 1 x C2n 1 C2n 1x C2n 1x C2n 1x C2n 1x  C2n 1 x 1 . Lấy đạo hàm hai vế của 1 ta được: 2n 1 2 3 2 4 3 2n 1 2n 2n 1 1 x C2n 1 2C2n 1x 3C2n 1x 4C2n 1x  2n 1 C2n 1 x 2 . Lấy đạo hàm hai vế của 2 ta được: 2n 1 2 3 4 2 2n 1 2n 1 2n 1 .2n 1 x 1.2C2n 1 2.3C2n 1x 3.4C2n 1x  2n. 2n 1 C2n 1 x 3 . 2 3 4 2n 1 Thay x 1 vào 3 ta có: 0 1.2C2n 1 2.3C2n 1x 3.4C2n 1  2n 2n 1 C2n 1 . Do đó S 0 . Câu 44. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , AD 2a, AB BC a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 . Tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng SAC . A. 3633 . B. 2657 . C. 2633 . D. 3033 . Lời giải Chọn C S I A D B C SC  ABCD C và hình chiếu của S trên mặt phẳng ABCD là A hình chiếu của SC trên mặt phẳng ABCD là AC ·SC, ABCD ·SC, AC S· CA 60. Xét tam giác ABC vuông tại B có AC AB2 BC 2 a2 a2 a 2 . Xét tam giác SAC vuông tại A có SA AC.tan 60 a 2. 3 a 6 và SC SA2 AC 2 2 2a . Xét tam giác SAD vuông tại A có SD SA2 AD2 6a2 4a2 a 10 . 1 Gọi I là trung điểm của AD .Ta có AI AD a AI BC . Lại có AI // BC nên ABCI 2 1 là hình bình hành. Do đó CI AB a AD ACD vuông tại C CD  AC mà 2 CD  SA (vì SA  ABCD ) nên CD  SAC .
14. Ta có SD  SAC S và hình chiếu của D trên mặt phẳng SAC là C hình chiếu của SD trên mặt phẳng SAC là SC ·SD, SAC ·SD, SC D· SC . SC 2 2a 2 5 Xét tam giác SCD vuông tại C có cos D· SC D· SC 2633 . SD a 10 5 Câu 45. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , BC a 3 , SA  ABCD . Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng SAC là: a a 3 A. a 3 . B. . C. .D. a . 2 2 Lời giải Chọn C Trong mặt phẳng ABCD , kẻ DH  AC tại H . SAC  ABCD do SA  ABCD SAC  ABCD AC Ta có: DH  SAC DH d D, SAC . DH  ABCD DH  AC 1 1 1 1 1 4 Mà ACD vuông tại D có DH là đường cao nên 2 2 2 2 2 2 DH DA DC a 3 a 3a a 3 a 3 DH . Vậy d D, SAC . 2 2 2 4 6  2n Câu 46. Kết quả của lim bằng n2 1 A. . B. 0.C. 12.D. 1. Lời giải Chọn D Trước hết ta có 2 4 6  2n 2. 1 2 3  n . Đặt Sn 1 2 3  n thì Sn là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng un có u1 d 1. n u u n n 1 n2 n S 1 n n 2 2 2 2 2 4 6  2n 2.Sn n n .
15. 1 2 1 2 4 6  2n n n 1 0 Do đó, lim lim lim n 1. 2 2 1 n 1 n 1 1 1 0 n2 Câu 47. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , AB a . Gọi M là trung điểm   của AC . Biết hình chiếu vuông góc của S lên mp ABC là điểm N thỏa mãn BM 3MN và góc giữa hai mặt phẳng SAB và SBC bằng 600 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM theo a. 17a 17a 17a 2 17a A. . B. . C. .D. . 68 51 34 17 Lời giải Chọn D S S A H N K M H N A M C I I Q B Q C B N M B Ta có AC  SN , AC  BN AC  SB . Kẻ MI  SB tại I SB  AIC . Do đó SAB , SBC ·AIC hoặc SAB , SBC 1800 ·AIC . Vì tam giác ABC vuông cân tại B, M là trung điểm của AC nên BM là đường trung trực của đoạn AC NA NC SA SC SAB SCB AI CI. Nếu SAB , SBC ·AIC 600 thì tam giác AIC đều IA IC AC a 2 BC a (vô lí) vì tam giác IBC vuông tại I BC IC . a 6 Do đó SAB , SBC 1800 ·AIC 600 ·AIC 1200 IC IA . 3 a 6 a 3 4 2a 2 IM IC 2 MC 2 ; IB BC 2 IC 2 ; BN BM . 6 3 3 3 SN MI NB.MI 2a SNB : MIB SN . NB IB BI 3 Gọi Q là trung điểm BC , H là hình chiếu của N trên QM , K là hình chiếu của N trên SH d N, SQM NK . NH MN 1 1 a 1 1 1 153 MBQ : MNH NH BQ . BQ MB 3 3 6 NK 2 NH 2 SN 2 4a2 2a Suy ra NK . 3 17 AB PMQ AB P SMQ d AB, SM d AB, SMQ d B, SMQ . d B, SMQ BM 2 17a Ta có 3 d AB, SM d B, SMQ 3d N, SMQ . d N, SMQ NM 17 a b.32020 Câu 48. Cho hàm số y sin3 x cos3 x có đạo hàm cấp 2019 tại x 0 bằng . Khi đó c a b c bằng
16. 4 1 1 A. . B. 0 .C. .D. . 3 2 2 Lời giải Chọn A 3 1 3 1 Có: sin3 x sin x sin 3x ; cos3 x cos x cos3x 4 4 4 4 3 1 2 2 y sin x cos x cos3x sin 3x cos 3x 3cos x f x . 4 4 4 4 4 4 n 2 n Với f x cos 3x 3cos x và y f x . 4 4 4 1 Ta có f x 3sin 3x 3sin x 3 cos 3x 3cos x . 4 4 4 2 4 2 2 2 f x 3 cos 3x 3cos x 3 cos 3x 2. 3cos x 2. . 4 4 4 2 4 2 n n Do đó f x 3 cos 3x n. 3cos x n. . 4 2 4 2 2019 2019 Suy ra f 0 3 cos 2019. 3cos 2019. 4 2 4 2 2019 2019 2019 3 3 2 3 2 f 0 3 cos 3cos . 4 4 2 2 1 2020 2019 3 .3 2019 2 2019 2 3 2 3 2 3 Do đó y 0 f 0 . 4 4 2 2 4 1 4 Suy ra a 3 ; b ; c 4. Do đó a b c . 3 3 Câu 49. Cho tứ diện S.ABC có ABC vuông cân tại B , AB a , SA  ABC và SA a 3 . M là điểm tùy ý trên cạnh AB sao cho AM x 0 x a . Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với AB . Thiết diện tạo bởi tứ diện S.ABC và mặt phẳng có giá trị lớn nhất khi x bằng a a 3 a 2 A. a . B. . C. .D. . 2 2 2 Lời giải Chọn B Dựng thiết diện bằng cách: Trên mặt phẳng ABC kẻ MQ song song BC (vớiQ AC ). Trên mặt phẳng SAB kẻ MN song song SA (với N SB ). Trên mặt phẳng SAC kẻ QP song song SA (với P SC ).
17. Thiết diện thu được là hình bình hành MNPQ lại có MN  MQ vì MN / /SA . Thiết diện thu được là hình chữ nhật MNPQ có MQ x (vì AMQ vuông cân tại M ). MN 3 a x (vì BMN đồng dạng với BAS ). 2 a x x a2 3 Ta có SMNPQ 3 a x x 3 . 2 4 2 a 3 a Vậy diện tích lớn nhất bằng SMNPQ khi và chỉ khi a x x x . 4 2 x2 m x n 2 Câu 50. Cho lim 1 (với m 1 và n 1). Tính giá trị biểu thức P m 2n x 1 x 1 ? A. 7 . B. 5 . C. 3 .D. 1. Lời giải Chọn B x2 m x n 2 Đặt H lim x 1 x 1 Vì tồn tại giới hạn nên x2 m x n 2 0 có nghiệm x 1 . Thay x 1 ta được 1 m 1 n 2 . Ta xét ba trường hợp sau: x2 1 x 3 2 x2 1 x 3 2 TH1: Với m 1 n 3 H lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 H lim x 1 2 1 . Không thỏa mãn x 1 x 3 2 x2 3 x 1 2 x2 3 2 x 1 TH2: Với n 1 m 3 H lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
18. x 1 x 1 H lim 1 1 . Thỏa mãn x 1 x2 3 2 x2 m 1 m x n 1 n TH3: Với m 1 ; n 1 H lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 H lim 0 . Không thỏa mãn x 1 x2 m 1 m x n 1 n Kết luận: m 3 , n 1 P m 2n 5 .