Kiểm tra học kì 2 môn Toán Lớp 11 - Đề 12 (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Kiểm tra học kì 2 môn Toán Lớp 11 - Đề 12 (Có lời giải chi tiết)

1. KIỂM TRA HỌC KỲ II Môn: TOÁN - Lớp 11 - Chương trình chuẩn ĐỀ SỐ 12 Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Mã đề thi Họ và tên thí sinh: SBD: PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM 1 Câu 1. lim bằng 2n 5 1 1 A. . B. 0 . C. . D. . 2 5 Câu 2. Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng 0 n n n 2 5 4 n A. lim . B. lim . C. lim . D. lim 2 . 3 3 3 Câu 3. Giá trị của lim 2x2 3x 1 bằng x 1 A. 2 . B. 1. C. . D. 0 . x 2 Câu 4. lim bằng: x 1 x 1 1 1 A. . B. . C. D. . 2 2 Câu 5. Biết lim 4x2 ax 1 bx 1. Tính giá của biểu thức P a2 2b3 . x A. P 32 . B. P 0 . C. P 16 . D. P 8 . Câu 6. Hàm số nào sau đây liên tục tại x 1: x2 x 1 x2 x 2 x2 x 1 x 1 A. f x . B. f x . C. f x . D. f x . x 1 x2 1 x x 1 2 3 x x 1 , x 1 Câu 7. Tìm m để hàm số y x 1 liên tục trên . mx 1 ,x 1 4 1 4 2 A. m . B. m . C. m . D. m . 3 3 3 3 1 Câu 8. Tính số gia y của hàm số y theo x tại x 2 . x 0 4 x x 1 x A. y . B. y . C. y . D. y . 2 2 x 2 2 x x 2 2 2 x y Câu 9. lim của hàm số f x 3x 1 theo x là: x 0 x 3 3 3x 1 A. . B. . C. . D. . 3x 1 2 3x 1 2 3x 1 2 3x 1 2x 7 Câu 10. Tính đạo hàm của hàm số f x tại x 2 ta được: x 4 Trang 1
2. 1 11 3 5 A. f 2 . B. f 2 . C. f 2 . D. f 2 . 36 6 2 12 Câu 11. Đạo hàm của hàm số y x4 4x2 3 là A. y 4x3 8x . B. y 4x2 8x . C. y 4x3 8x . D. y 4x2 8x x4 5x3 Câu 12. Đạo hàm của hàm số y 2x a2 ( a là hằng số) bằng. 2 3 1 1 A. 2x3 5x2 2a . B. 2x3 5x2 . 2x 2 2x 1 C. 2x3 5x2 . D. 2x3 5x2 2 . 2x 1 Câu 13. Hàm số y có đạo hàm bằng: x2 5 1 2x 1 2x A. y ' 2 . B. y ' 2 . C. y ' 2 . D. y ' 2 . x2 5 x2 5 x2 5 x2 5 Câu 14. Cho các hàm số u u x , v v x có đạo hàm trên khoảng J và v x 0 với x J . Mệnh đề nào sau đây sai? 1 v x A. u x v x u x v x . B. . 2 v x v x u x u x . v x v x . u x C. u x. v x u x. v x v x. u x . D. . 2 v x v x 2x2 3x 7 Câu 15. Tính đạo hàm của hàm số y . x2 2x 3 7x2 2x 23 7x2 2x 23 A. y 2 . B. y 2 x2 2x 3 x2 2x 3 7x2 2x 23 8x3 3x2 14x 5 C. y D. 2 y 2 x 2x 3 x2 2x 3 Câu 16. Đạo hàm của hàm số f x 2 3x2 bằng biểu thức nào sau đây? 3x 1 6x2 3x A. . B. . C. . D. . 2 3x2 2 2 3x2 2 2 3x2 2 3x2 2x 3 Câu 17. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tại điểm có hoành độ bằng 3 , tương ứng là x 2 A. y 7x 13. B. y 7x 30. C. y 3x 9 . D. y x 2 . Câu 18. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s t3 3t 2 5t 2 , trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t 3 là A. 24 m/s2 . B. 12 m/s2 . C. 17 m/s2 . D. 14 m/s2 . Trang 2
3. 3 Câu 19. Cho hàm số y m 2 x3 m 2 x2 3x 1, m là tham số. Số các giá trị nguyên m để 2 y 0, x là A. 5. B. Có vô số giá trị nguyên m . C. 3. D. 4 Câu 20. Đạo hàm của hàm số y cos x2 1 là x x A. y sin x2 1 . B. y sin x2 1 . x2 1 x2 1 x x C. y sin x2 1 . D. y sin x2 1. 2 x2 1 2 x2 1 Câu 21. Đạo hàm của hàm số y tan x cot x là 1 4 4 1 A. y . B. y . C. y . D. y . cos2 2x sin2 2x cos2 2x sin2 2x Câu 22. Đạo hàm của hàm số y cos3x là A. y sin3x . B. y 3sin3x . C. y 3sin3x . D. y sin3x . Câu 23. Cho f x sin3 ax , a 0 . Tính f A. f 3sin2 a .cos a . B. f 0 . C. f 3a sin2 a . D. f 3a .sin 2 a .cos a . 3 Câu 24. Đạo hàm của hàm số y sin 4x là: 2 A. 4cos 4x . B. 4 cos 4x . C. 4sin 4x . D. 4sin 4x Câu 25. Cho hàm số y x5 3x4 x 1 với x . Đạo hàm y của hàm số là A. y 5x3 12x2 1. B. y 5x4 12x3 . C. y 20x2 36x3 . D. y 20x3 36x2 . Câu 26. Cho hàm số f x x3 2x , giá trị của f 1 bằng A. 6 . B. 8 . C. 3 . D. 2 . Câu 27. Cho ba vectơ a,, b c . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Nếu a,, b c không đồng phẳng thì từ ma nb pc 0 ta suy ra m n p 0. B. Nếu có ma nb pc 0 , trong đó m2 n2 p2 0 thì a,, b c đồng phẳng. C. Với ba số thực m, n, p thỏa mãn m n p 0 ta có ma nb pc 0 thì a,, b c đồng phẳng. D. Nếu giá của a,, b c đồng qui thì a,, b c đồng phẳng.  S. ABC BC a 2 a SB Câu 28. Cho hình chóp có , các cạnh còn lại đều bằng . Góc giữa hai vectơ và AC bằng A. 60 . B. 120 . C. 30 . D. 90 . Câu 29. Cho hình lập phương ABCD. A B C D , góc giữa hai đường thẳng AB và BC là A. 90 . B. 60. C. 30 . D. 45. Trang 3
4. lượt tại M và Q . Góc giữa hai đường thẳng MQ và NP bằng A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 90 . Câu 31. Cho hình lăng trụ đều ABC. A B C có AB 3 và AA 1. Góc tạo bởi giữa đường thẳng AC và ABC bằng A. 45o . B. 60o . C. 30o . D. 75o . Câu 32. Cho hình chóp S. ABCD đều. Gọi H là trung điểm của cạnh AC . Tìm mệnh đề sai? A. SAC  SBD . B. SH  ABCD . C. SBD  ABCD . D. CD  SAD . Câu 33. Cho hình chóp S. ABCD với đáy ABCD là hình vuông có cạnh 2a , SA a 6 và vuông góc với đáy. Góc giữa SBD và ABCD bằng? A. 900 . B. 300 . C. 450 . D. 600 . Câu 34. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy là a 2 và tam giác SAC đều. Tính độ dài cạnh bên của hình chóp. A. 2a . B. a 2 . C. a 3 . D. a . Câu 35. Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B, AB a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 2 5a 5a 2 2a 5a A. . B. . C. . D. . 5 3 3 5 PHẦN 2. TỰ LUẬN Câu 1. Tìm giới hạn I lim x 1 x2 x 2 . x x2 x 2 3 7x 1 Câu 2. Tìm giới hạn lim x 1 2 x 1 Câu 3. Cho hàm số f x x2 x2 1 x2 4 x2 9 x2 16 . Hỏi phương trình f' x 0 có bao nhiêu nghiệm? Câu 4. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , tam giác SAD đều và có cạnh bằng 2a, BC 3a các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau. Tính khoảng cách từ 5 S đến mặt phẳng ( ABCD) . Trang 4
5. BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.A 3.D 4.C 5.C 6.C 7.A 8.D 9.B 10.A 11.C 12.C 13.D 14.B 15.B 16.A 17.B 18.B 19.A 20.A 21.B 22.B 23.B 24.C 25.D 26.A 27.D 28.B 29.B 30.D 31.C 32.D 33.D 34.A 35.A PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM 1 Câu 1. lim bằng 2n 5 1 1 A. . B. 0 . C. . D. . 2 5 Lời giải Chọn B 1 1 1 Ta có: lim lim . 0 . 2n 5 5 n 2 n Câu 2. Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng 0 n n n 2 5 4 n A. lim . B. lim . C. lim . D. lim 2 . 3 3 3 Lời giải Chọn A limqn 0 ( q 1) . Câu 3. Giá trị của lim 2x2 3x 1 bằng x 1 A. 2 . B. 1. C. . D. 0 . Lời giải Chọn D Ta có: lim 2x2 3x 1 0 . x 1 x 2 Câu 4. lim bằng: x 1 x 1 1 1 A. . B. . C. D. . 2 2 Lời giải Chọn C lim x 2 3 0 x 1 x 2 lim vì lim x 1 0 . x 1 x 1 x 1 x 1 0,x 1 Câu 5. Biết lim 4x2 ax 1 bx 1. Tính giá của biểu thức P a2 2b3 . x A. P 32 . B. P 0 . C. P 16 . D. P 8 . Lời giải Trang 5
6. Chọn D 1 a ax 1 a TH1:b 2 lim 4x2 ax 1 2x lim lim x . x x 2 x a 1 4 4x ax 1 2x 4 2 x x2 a lim 4x2 ax 1 bx 1 1 a 4. x 4 2 a 1 neáu b > 2 TH2: b 2 lim 4x ax 1 bx lim x 4 b x x 2 x x neáu b < 2 2 3 Vậy a 4,b 2 P a 2b 0 . Câu 6. Hàm số nào sau đây liên tục tại x 1: x2 x 1 x2 x 2 x2 x 1 x 1 A. f x . B. f x . C. f x . D. f x . x 1 x2 1 x x 1 Lời giải x2 x 1 A) f x x 1 lim f x suy ra f x không liên tục tại x 1. x 1 x2 x 2 B) f x x2 1 x 2 lim f x lim suy ra f x không liên tục tại x 1. x 1 x 1 x 1 x2 x 1 C) f x x x2 x 1 lim f x lim 3 f 1 suy ra f x liên tục tại x 1. x 1 x 1 x x 1 D) f x x 1 x 1 lim f x lim suy ra f x không liên tục tại x 1. x 1 x 1 x 1 2 3 x x 1 , x 1 Câu 7. Tìm m để hàm số y x 1 liên tục trên . mx 1 ,x 1 4 1 4 2 A. m . B. m . C. m . D. m . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A 2 3 x x 1 +) Xét x 1, hàm số y liên tục trên khoảng ;1 và 1; . x 1 +) Xét x 1, ta có y 1 m 1 và 3 2 3 x x 1 2 x 1 x 1 2 2 1 lim y lim lim lim 1 1 . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 3 x2 3 x 1 3 3 Trang 6
7. 1 4 Đề hàm số liên tục tại x 1 thì lim y y 1 m 1 m . x 1 3 3 4 Vậy với m thì hàm số liên tục trên . 3 1 Câu 8. Tính số gia y của hàm số y theo x tại x 2 . x 0 4 x x 1 x A. y . B. y . C. y . D. y . 2 2 x 2 2 x x 2 2 2 x Lời giải Chọn D 1 1 x Ta có y . 2 x x x 2 x y Câu 9. lim của hàm số f x 3x 1 theo x là: x 0 x 3 3 3x 1 A. . B. . C. . D. . 3x 1 2 3x 1 2 3x 1 2 3x 1 Lời giải Chọn B y 3 x x 1 3x 1 3 3 Ta có: lim lim lim . x 0 x x 0 x x 0 3 x x 1 3x 1 2 3x 1 2x 7 Câu 10. Tính đạo hàm của hàm số f x tại x 2 ta được: x 4 1 11 3 5 A. f 2 . B. f 2 . C. f 2 . D. f 2 . 36 6 2 12 Lời giải Chọn A 1 1 Ta có f x f 2 . x 4 2 36 Câu 11. Đạo hàm của hàm số y x4 4x2 3 là 3 2 3 2 A. y 4x 8x . B. y 4x 8x . C. y 4x 8x . D. y 4x 8x Lời giải Chọn C y x4 4x3 3 4x3 8x . x4 5x3 Câu 12. Đạo hàm của hàm số y 2x a2 ( a là hằng số) bằng. 2 3 1 1 A. 2x3 5x2 2a . B. 2x3 5x2 . 2x 2 2x 1 C. 2x3 5x2 . D. 2x3 5x2 2 . 2x Lời giải Trang 7
8. Chọn C 1 Ta có y 2x3 5x2 . 2x 1 Câu 13. Hàm số y có đạo hàm bằng: x2 5 1 2x 1 2x A. y ' 2 . B. y ' 2 . C. y ' 2 . D. y ' 2 . x2 5 x2 5 x2 5 x2 5 Lời giải Chọn D 2x y ' 2 x2 5 Câu 14. Cho các hàm số u u x , v v x có đạo hàm trên khoảng J và v x 0 với x J . Mệnh đề nào sau đây sai? 1 v x A. u x v x u x v x . B. . 2 v x v x u x u x . v x v x . u x C. u x. v x u x. v x v x. u x . D. . 2 v x v x Lời giải Chọn B 2x2 3x 7 Câu 15. Tính đạo hàm của hàm số y . x2 2x 3 7x2 2x 23 7x2 2x 23 A. y 2 . B. y 2 x2 2x 3 x2 2x 3 7x2 2x 23 8x3 3x2 14x 5 C. y D. 2 y 2 x 2x 3 x2 2x 3 Lời giải Chọn B 2 2 2x2 3x 7 4x 3 x 2x 3 2x 2 2x 3x 7 7x2 2x 23 y 2 y 2 2 x 2x 3 x2 2x 3 x2 2x 3 Câu 16. Đạo hàm của hàm số f x 2 3x2 bằng biểu thức nào sau đây? 3x 1 6x2 3x A. . B. . C. . D. . 2 3x2 2 2 3x2 2 2 3x2 2 3x2 Lời giải u Ta có u . 2 u 2 2 3x 6x 3x f x 2 3x2 . 2 2 2 2 2 3x 2 2 3x 2 3x Trang 8
9. 2x 3 Câu 17. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tại điểm có hoành độ bằng 3 , tương ứng là x 2 A. y 7x 13. B. y 7x 30. C. y 3x 9 . D. y x 2 . Lời giải Chọn B x 3 y 9 ; 7 y y ' 3 7 . x 2 2 Phương trình tiếp tuyến tương ứng là y 7 x 3 9 y 7x 30 . Câu 18. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s t3 3t 2 5t 2 , trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t 3 là A. 24 m/s2 . B. 12 m/s2 . C. 17 m/s2 . D. 14 m/s2 . Lời giải Chọn B Ta có: s t 3t 2 6t 5 a t s t 6t 6 a 3 12 m/s2 . 3 Câu 19. Cho hàm số y m 2 x3 m 2 x2 3x 1, m là tham số. Số các giá trị nguyên m để 2 y 0, x là A. 5. B. Có vô số giá trị nguyên m . C. 3. D. 4 Lời giải Chọn A y ' 3 m 2 x2 3 m 2 x 3 0 m 2 x2 m 2 x 1 0 1 Để phương trình 1 luôn thỏa mãn x TH1: m 2 0 m 2 y' 1 0,x ( Nhận) m 2 0 m 2 m 2 2 m 2 TH2: m 2 0 m 2 2 0 m 4 0 2 m 2 Kết hợp hai trường hợp: m 2; 1;0;1;2 . Câu 20. Đạo hàm của hàm số y cos x2 1 là x x A. y sin x2 1 . B. y sin x2 1 . x2 1 x2 1 x x C. y sin x2 1 . D. y sin x2 1. 2 x2 1 2 x2 1 Lời giải Chọn A x y x2 1 .sin x2 1 sin x2 1 . x2 1 Câu 21. Đạo hàm của hàm số y tan x cot x là Trang 9
10. 1 4 4 1 A. y . B. y . C. y . D. y . cos2 2x sin2 2x cos2 2x sin2 2x Lời giải Chọn B 1 1 1 4 y tan x cot x y . cos2 x sin2 x sin 2 x.cos2 x sin2 2x Câu 22. Đạo hàm của hàm số y cos3x là A. y sin3x . B. y 3sin3x . C. y 3sin3x . D. y sin3x . Lời giải Chọn B Xét hàm số y cos3x . Ta có y cos3x 3x sin 3x 3sin 3x . Vậy y 3sin3x . Câu 23. Cho f x sin3 ax , a 0 . Tính f A. f 3sin2 a .cos a . B. f 0 . C. f 3a sin2 a . D. f 3a .sin 2 a .cos a . Lời giải f x sin3 ax f x 3a sin2 ax cos ax . f 3a sin 2 a .cos a 0 . 3 Câu 24. Đạo hàm của hàm số y sin 4x là: 2 A. 4cos 4x . B. 4 cos 4x . C. 4sin 4x . D. 4sin 4x Lời giải Chọn D Ta có 3 y sin 4x sin 4x sin 4x cos 4x y cos 4x 4sin 4x . 2 2 2 Câu 25. Cho hàm số y x5 3x4 x 1 với x . Đạo hàm y của hàm số là A. y 5x3 12x2 1. B. y 5x4 12x3 . C. y 20x2 36x3 . D. y 20x3 36x2 . Lời giải Chọn D Ta có y x5 3x4 x 1 y 5x4 12x3 1 y 20x3 36x2 . Câu 26. Cho hàm số f x x3 2x , giá trị của f 1 bằng A. 6 . B. 8 . C. 3 . D. 2 . Lời giải f x 3x2 2 , f x 6x f 1 6 . Câu 27. Cho ba vectơ a,, b c . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Nếu a,, b c không đồng phẳng thì từ ma nb pc 0 ta suy ra m n p 0. Trang 10
11. B. Nếu có ma nb pc 0 , trong đó m2 n2 p2 0 thì a,, b c đồng phẳng. C. Với ba số thực m, n, p thỏa mãn m n p 0 ta có ma nb pc 0 thì a,, b c đồng phẳng. D. Nếu giá của a,, b c đồng qui thì a,, b c đồng phẳng. Lời giải Chọn D Câu D sai. Ví dụ phản chứng 3 cạnh của hình chóp tam giác đồng qui tại 1 đỉnh nhưng chúng không đồng phẳng.  Câu 28. Cho hình chóp S. ABC có BC a 2 , các cạnh còn lại đều bằng a . Góc giữa hai vectơ SB và  AC bằng A. 60 . B. 120 . C. 30 . D. 90 . Lời giải S A C B 2          a   SA AB. AC 0 SB. AC SA. AC AB. AC 2 1 Ta có cos SB, AC   2 2 2 . SB. AC a a a 2   Vậy góc giữa hai vectơ SB và AC bằng 120 . Câu 29. Cho hình lập phương ABCD. A B C D , góc giữa hai đường thẳng AB và BC là A. 90 . B. 60. C. 30 . D. 45. Lời giải C B D A C' B' D' A' Ta có BC // AD ABBC ; ABAD ; DA B . Xét DA B có AD AB BD nên DA B là tam giác đều. Trang 11
12. Vậy DA B 60 . Câu 30. Cho tứ diện MNPQ có hai tam giác MNP và QNP là hai tam giác cân lần lượt tại M và Q . Góc giữa hai đường thẳng MQ và NP bằng A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn D Q M P I N NP  MI Gọi I là trung điểm cảu NP , ta có: NP  QIM NP  QM . NP  QI Câu 31. Cho hình lăng trụ đều ABC. A B C có AB 3 và AA 1. Góc tạo bởi giữa đường thẳng AC và ABC bằng A. 45o . B. 60o . C. 30o . D. 75o . Lời giải CC 1 o Ta có AC , ABC AC , AC CAC , tan C AC C AC 30 . AC 3 Câu 32. Cho hình chóp S. ABCD đều. Gọi H là trung điểm của cạnh AC . Tìm mệnh đề sai? A. SAC  SBD . B. SH  ABCD . C. SBD  ABCD . D. CD  SAD . Lời giải Chọn D Trang 12
13. S A D H B C Câu 33. Cho hình chóp S. ABCD với đáy ABCD là hình vuông có cạnh 2a , SA a 6 và vuông góc với đáy. Góc giữa SBD và ABCD bằng? A. 900 . B. 300 . C. 450 . D. 600 . Lời giải S A B D C Từ A ta kẻ đường vuông góc tới BD, thì chân đường vuông góc là tâm O của hình vuông, từ đây dễ thấy SO  BD , nên góc giữa hai mặt phẳng là góc SOA . SA a 6 Xét tam giác SOA có tan SOA 3 . Vậy góc cần tìm bằng OA a 2 Câu 34. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy là a 2 và tam giác SAC đều. Tính độ dài cạnh bên của hình chóp. A. 2a . B. a 2 . C. a 3 . D. a . Lời giải Chọn A Hình chóp tứ giác đều S. ABCD nên ABCD là hình vuông có cạnh bằng a 2 nên AC 2a . Tam giác SAC đều nên cạnh bên SA AC 2a . Câu 35. Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B, AB a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 2 5a 5a 2 2a 5a A. . B. . C. . D. . 5 3 3 5 Lời giải Chọn A Trang 13
14. S 2a H A C a B BC  AB Ta có BC  SAB . BC  SA Kẻ AH  SB . Khi đó AH  BC AH  SBC AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC . 1 1 1 1 1 5 4a2 2 5a Ta có AH 2 AH . AH 2 SA2 AB2 4a2 a2 4a2 5 5 PHẦN 2. TỰ LUẬN Câu 1. Tìm giới hạn I lim x 1 x2 x 2 . x Lời giải 2 2 2 x x x 2 x 2 Ta có: I lim x 1 x x 2 I lim 1 I lim 1 2 2 x x x x x 2 x x x x 2 2 1 3 I lim x 1 I . x 1 2 2 1 1 x x2 x2 x 2 3 7x 1 Câu 2. Tìm giới hạn lim x 1 2 x 1 Lời giải x2 x 2 3 7x 1 x2 x 2 2 2 3 7x 1 Ta có lim lim x 1 2 x 1 x 1 2 x 1 x2 x 2 2 2 3 7x 1 lim lim IJ . x 1 2 x 1 x 1 2 x 1 x2 x 2 2 x2 x 2 4 Tính I lim lim x 1 2 x 1 x 1 2 x 1 x2 x 2 2 Trang 14
15. x 1 x 2 x 2 3 lim lim . x 1 2 x 1 x2 x 2 2 x 1 2 x2 x 2 2 4 2 2 3 7x 1 8 7x 1 và J lim lim x 1 x 1 2 2 x 1 2 x 1 4 23 7x 1 3 7x 1 7 7 lim . x 1 2 2 4 23 7x 1 3 7x 1 12 2 x2 x 2 3 7x 1 2 Do đó lim IJ x 1 2 x 1 12 Câu 3. Cho hàm số f x x2 x2 1 x2 4 x2 9 x2 16 . Hỏi phương trình f' x 0 có bao nhiêu nghiệm? Lời giải Cách 1: Nhận xét: +) Hàm số y f x liên tục trên đoạn a; b có nghiệm x a, x b và f x 0,x a; b thì tồn tại duy nhất x x0 a; b sao cho f' x0 0 . +) Hàm số y f x có nghiệm bội x x0 thì phương trình f' x 0 cũng có nghiệm x x0 . Từ đó ta có: +) Phương trình f x 0 có các nghiệm là: S 0; 1; 2; 3; 4 , trong đó nghiệm x 0 là nghiệm kép nên phương trình f' x 0 sẽ có 9 nghiệm là x 0 và các nghiệm lần lượt thuộc các khoảng 4; 3, 3; 2, 2; 1, 1;0 , 0;1 , 1;2 , 2;3 , 3;4 . Cách 2: Ta có: g x f' x là hàm đa thức bậc 9 nên liên tục và có đạo hàm trên . Dùng máy tính bấm đạo hàm tại một điểm ta có: g 4 .g 3 0 , g 3 .g 2 0 , g 2 .g 1 0, g 1 .g 0,1 0 , g 0,1 .g 1 0 , g 1 .g 2 0 , g 2 .g 3 0, g 3 .g 4 0 Suy ra phương trình g x 0 luôn có ít nhất 8t nghiệm thuộc các khoảng 4; 3 , 3; 2 , 2; 1 , 1;0,1 , 0,1;1 , 1;2 , 2;3 , 3;4 . Nhận thấy g 0 0 Vậy phương trình f' x 0 luôn có ít nhất 9 nghiệm. Mà phương trình f' x 0 là phương trình bậc 9 nên có nhiều nhất nghiệm. Suy ra phương trình f' x 0 có đúng 9 nghiệm. Câu 4. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , tam giác SAD đều và có cạnh bằng 2a, BC 3a các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau. Tính khoảng cách từ 5 S đến mặt phẳng ( ABCD) . Lời giải Trang 15
16. S C D I3 I4 I I2 A I B 1 Gọi I là hình chiếu vuông góc của S trên ( ABCD) , Gọi II1,2 ,l 3 ,I4 lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh AB, BC, CD, DA thì các góc IIi S , (i 1, 4) là góc giữa các mặt bên và mặt đáy do đó chúng bằng nhau, suy ra các tam giác vuông SII1, SII2, SII3 , SII4 bằng nhau nên II1 II2 II3 II4 I là tâm đường tròn nội tiếp hình thang ABCD . Vì tứ giác ABCD ngoại tiếp nên AB DC AD BC 5a 1 1 Diện tích hình thang ABCD là S ( AB DC) AD .5a .2 a 5a 2 2 2 Gọi p là nửa chu vi và r là bán kính đường tròn nội tiếp của hình thang ABCD thì AB DC AD BC 10a p 5a . 2 2 S 5a2 S pr r a II r a . p 5a 4 Tam giác SAD đều và có cạnh 2a nên 2a 3 SI a 3 SI SI 2 II 2 3a2 a2 a 2 4 2 4 4 Vậy d Ss ( ABCD SI a 2 . Trang 16