Kiểm tra học kì 2 môn Toán Lớp 11 - Đề 2 (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Kiểm tra học kì 2 môn Toán Lớp 11 - Đề 2 (Có lời giải chi tiết)

1. KIỂM TRA HỌC KỲ II Môn: TOÁN - Lớp 11 - Chương trình chuẩn ĐỀ SỐ 2 Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Mã đề thi Họ và tên thí sinh: SBD: PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. lim bằng A. +∞. B. . C. 0. D. . x 3 Câu 2. Vi phân của hàm số y tại x 3 là 1 2x 1 1 A. dy dx . B. dy 7dx . C. dy dx . D. dy 7dx . 7 7 Câu 3. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Nếu lim un thì limun . B. Nếu lim un thì limun . C. Nếu limun 0 thì lim un 0 . D. Nếu limun a thì lim un a . x4 2x5 Câu 4. Tính giá trị giới hạn lim bằng x 1 2x4 3x5 2 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 7 7 12 Câu 5. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Các mặt phẳng SAC , SBD cùng vuông góc với đáy. Hãy xác định đường thẳng vuông góc với ABCD trong những đường sau đây? A. SB . B. SA . C. SO . D. SC . Câu 6. Cho tứ diện ABCD . Gọi G là trọng tâm tam giác ABD . Khi đó         A. CA CB CD CG B. CA CB CD 3CG     .     . C. CA CB CD 3GC . D. CA CB CD 2CG . Câu 7. Cho hàm số f x x 4 2x 2 3. Tính f 1 . A. f 1 16 B. f 1 12 C. f 1 0 D. f 1 8 Câu 8. Trong các mệnh đề mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Hàm số y cos x liên tục trên . B. Hàm số y sin x liên tục trên . C. Hàm số y tan x liên tục trên . D. Hàm số y 2x 1 liên tục trên . Câu 9. Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Hình hộp chữ nhật là lăng trụ đứng. B. Hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật. C. Hình lăng trụ là hình hộp đứng. D. Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau. Câu 10. Tính đạo hàm của hàm số () = tại điểm = 1. A. ′(1) = −4. B. ′(1) = −3. C. ′(1) = −2. D. ′(1) = −5. Câu 11. Cho hình chóp S. ABCD , mặt đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a, SA vuông góc với mặt phẳng ABCD và SA a . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng SBC . Trang 1
2. a a 2 a 3 A. d . B. d . C. d . D. d a . 2 2 2 Câu 12. Đạo hàm của hàm số y 2 x 3 là 1 1 1 1 A. y 3. B. y . C. y 3. D. y . 2 x 2 x x x Câu 13. Cho hàm số y 2x3 x 3 P . Phương trình tiếp tuyến với P tại M 0;3 là A. y 4x 1. B. y 11x 3 . C. y x 3 . D. y x 3 . Câu 14. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Số đo góc giữa hai đường thẳng BC , SA bằng A. 60 . B. 120 . C. 90 . D. 45. Câu 15. Tính lim 2x3 4x2 5 x A. 3. B. 2. C. . D. . Câu 16. Xét hai mệnh đề sau: I : f x có đạo hàm tại x0 thì f x liên tục tại x0 . II : f x liên tục tại x0 thì f x có đạo hàm tại x0 . A. Mệnh đề I đúng, II sai. B. Cả 2 mệnh đề I và II đều sai. C. Cả 2 mệnh đề I và II đều đúng. D. Mệnh đề II đúng, I sai. Câu 17. Hàm số = − có đạo hàm bằng A. . B. . C. . D. . Câu 18. Hàm số y x2.cos x c ó đạo hàm là A. y 2x sin x x2 cos x . B. y 2x cos x x2 sin x . C. y 2x cos x x2 sin x . D. y 2xsin x x2 cos x . 1 1 Câu 19. Cho hàm số f x asin x cos x 1có đạo hàm là f x . Để f 0 thì a bằng bao nhiêu? 2 2 2 1 1 2 A. a . B. a . C. a . D. a . 2 2 2 2 x2 44x 2 Câu 20. Hàm số y liên tục trên khoảng nào dưới đây? 2x 1 1 1 A. ; . B. ; . 2 2 1 1 C. ; . D. ; và ; . 2 2 2 3x 1 1 x2 x 2 Câu 21. Cho I lim và J lim . Khi đó IJ bằng x 0 x x 1 x 1 A. 0. B. 6. C. 3. D. 6 . Câu 22. Cho tứ diện ABCD có AB AC AD và BAC BAD 60 ,CAD 90 . Gọi I và J lần lượt là   trung điểm của AB và CD . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ IJ và CD . A. 90 . B. 120. C. 45 . D. 60 . Câu 23. Cho tứ diện Gọi và lần lượt là trung điểm của và Đặt ⃗ = ⃗, ⃗ = ⃗, ⃗ = ⃗ Khẳng định nào sau đây là đúng? Trang 2
3. A. ⃗ = (⃗ + ⃗ + ⃗) B. ⃗ = (⃗ + ⃗ − ⃗) C. ⃗ = (⃗ + ⃗ − ⃗) ⃗ = (⃗ + ⃗ − ⃗) D. Câu 24. Cho hàm số f x cos x , tìm số gia tương ứng của hàm số biết x , x . 0 3 A. 1. B. 0 . C. . D. . 3 Câu 25. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC. A B C có đáy là một tam giác vuông cân tại B , AB BC a , AA a 2 , M là trung điểm BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BC . a a 3 2a A. a 3 . B. . C. . D. . 7 2 5 x 1 Câu 26. Cho hàm số f x . Tập nghiệm của bất phương trình f x 0 là 3x A.  . B. \ 0 . C. ;0 . D. 0; . Câu 27. Cho chóp . có vuông góc với đáy, tam giác vuông tại . Biết = = . Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (). A. . B. 30°. C. 45°. D. 60°. Câu 28. Cho hàm số y cos x msin 2x C ( m là tham số). Tìm tất cả các giá trị m để tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ x , x song song hoặc trùng nhau. 3 3 2 3 A. m 2 3 . B. m . C. m . D. m 3 . 6 3 Câu 29. Cho hàm số = . cos. Tính giá trị biểu thức = + ′′ − 2(′ − cos). A. = − 1. B. = 2. C. = 1. D. = 0. Câu 30. Cho hàm số y x3 3x2 . Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ trị hàm số song song với trục hoành? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 31. Một chất điểm chuyển động theo phương trình s t 2t2 , trong đó t 0, t tính bằng giây và s t tính bằng mét. Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm t 2 giây. A. 8m/s. B. 4 m/s. C. 2 m/s. D. 3 m/s. ( ) Câu 32. Tìm để hàm số = − ( + 1) + (3 + 2) + 1 có ′ ≤ 0, ∀ ∈ ℝ. A. ≤ − B. < −1 C. ≤ 1 D. ≤ −1 Câu 33. Cho hàm số y f() x và tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ xA;; xB xC ; xD như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là SAI? A. f ( xA ).f ( xB ).f ( xD ) 0. B. f ( xA ).(f xB ).f ( xC ).f ( xD ) 0 . C. f ( xA ) 0;f ( xD ) 0 . D. f ( xA ).f ( xB ).f ( xC ) 0. Câu 34. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ABC 120, SA  ABCD . Biết góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD bằng 60, khi đó a 6 a 3 a 6 A. SA . B. SA . C. SA . D. SA a 6 . 4 2 2 Câu 35. Cho biết = = với , , ∈ ℝ. Tìm số nghiệm thực của phương trình − → 2 + − 2 = 0. Trang 3
4. A. . B. . C. . D. . PHẦN II: TỰ LUẬN x2 x 1 Câu 36. Tính đạo hàm của hàm số y . 2x2 x 4 4 Câu 37. Cho hàm số y f x cos 2x . Tìm các nghiệm của phương trình f x 8 thuộc đoạn 3 0; 2 Câu 38. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x x3 3x2 9x tại điểm có hoành độ x0 1. Câu 39. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh bằng 4a ; Hình chiếu vuông o góc của S trên mặt đáy là trung điểm H trên OA ; góc giữa mặt phẳng (SAD) và mặt đáy bẳng 45 . Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD) . HẾT Trang 4
5. HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP ÁN CHI TIẾT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C A C C C B D C C D B D D A C A A B 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 B D B A D A B A B B D C A D B A C PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. Lời giải Chọn C Ta có: lim = lim = 0. Câu 2. Lời giải Chọn A 7 1 1 Ta có y y 3 dy dx . 1 2x 2 7 7 Câu 3. Lời giải Chọn C Câu 4. Lời giải Chọn C x4 2x5 1 Ta có lim . x 1 2x4 3x5 2 7 Câu 5. Lời giải Chọn C Các mặt phẳng SAC , SBD cùng vuông góc với ABCD nên giao tuyến của chúng là SO vuông góc với ABCD . Câu 6. Lời giải Chọn B        G ABD GA GB GD 0 CA CB CD 3CG 0 là trọng tâm tam giác nên CA CB CD 3CG . Câu 7. Lời giải Chọn D 4 2 3 +) f x x 2x 3 4x 4x , 3 2 +) f x 4x 4x 12x 4 +) f 1 8. Câu 8. Lời giải Chọn C Trang 5
6. Hàm số y tan x xác định khi x k nên không liên tục trên . Chỉ liên tục trên tập xác định của nó. 2 Câu 9. Lời giải Chọn C Đáp án “Hình lăng trụ là hình hộp đứng” là sai do hình lăng trụ có thể là hình hộp có cạnh bên không vuông góc với đáy. Câu 10. Lời giải Chọn D ()() Ta có ′() = () ()() = = ⇒ ′(1) = −5. () () Câu 11. Lời giải Chọn B S H B A D C Vì SA  ABCD nên SA  AB . Vì SA AB a nên SAB vuông cân tại A . Suy ra SB a 2 . Gọi H là trung điểm của SB , suy ra AH  SB 1 Ta có SA  ABCD SA  BC 2 . Vì ABCD là hình vuông nên BC  AB 3 . Từ (2) và (3) suy ra BC  SAB BC  AH 4 Từ (1) và (4) suy ra AH  SBC tại H . 1 a 2 Do đó khoảng cách từ A đến SBC là d A, SBC AH SB . 2 2 Câu 12. Lời giải Chọn D 1 1 Ta có: y 2. . 2 x x Câu 13. Lời giải Chọn D Ta có y 6x2 1 k y 0 1. Vậy phương trình tiếp tuyến: y x 3 . Câu 14. Trang 6
7. Lời giải Chọn A S B C O A D Vì AD// BC nên góc giữa BC và SA là góc giữa AD và SA. Hình chóp có tất cả các cạnh đều bằng a nên SAD đều, suy ra AD, SA 60 . Câu 15. Lời giải Chọn C 3 2 3 4 5 Ta có: lim 2x 4x 5 lim x 2 3 . x x x x Câu 16. Lời giải ChọnA Câu 17. Lời giải Chọn A Ta có: ′ = 1 + ⇔ ′ = . Câu 18. Lời giải Chọn B Ta có y 2x .cos x x2. sin x 2x cos x x2.sin x . Câu 19. Lời giải Chọn B 1 Ta có f x a cos x sin x . 2 1 1 1 1 Mà f 0 a cos0 sin 0 a . 2 2 2 2 1 Vậy a . 2 Câu 20. Lời giải Chọn D Hàm phân thức liên tục trên TXĐ.  Phân tích: Áp dụng tính chất hàm số liên tục. Câu 21. Trang 7
8. Lời giải Chọn B Ta có 2 3x 1 1 6x 6 I lim lim lim 3 . x 0 x x 0 x 3x 1 1 x 0 3x 1 1 x2 x 2 x 1 x 2 J lim lim lim x 2 3. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Khi đó IJ 6 . Câu 22. Lời giải Chọn A     IJ IA AD DJ 1     IJ IB BC CJ 2 Lấy 1 2 ta được:          2IJ IA IB AD BC DJ CJ AD BC  1   1    Hay IJ AD BC AD AC AB . 2 2   1      IJ. CD AD AC AB . AD AC 2 1 1   1   1 1   1   AD2 AD. AC AC. AD AC 2 AB. AD AB. AC . 2 2 2 2 2 2 1 1 .AB. AD.cos600 AB. AC.cos600 0 2 2   Vậy: IJ  CD . Câu 23. Trang 8
9. Lời giải Chọn D A M B D P C ⃗ ⃗ Vì , lần lượt là trung điểm của , ⇒ 2 = . ⃗ + ⃗ = 2 ⃗ Ta có ⃗ = ⃗ + ⃗ = − ⃗ + ⃗ = − ⃗ + ⃗ + ⃗ = − ⃗ + ⃗ + ⃗ . Câu 24. Lời giải Chọn A 4 4 Ta có : y f x0 x f x0 f f cos cos 1. 3 3 3 3 Câu 25. Lời giải Chọn B A C M B E A' C' B' Gọi E là trung điểm của BB . Khi đó: EM // BC BC // (AME) Ta có: d AM, B C d B C, AME d C, AME d B, AME Xét khối chóp BAME có các cạnh BE , AB , BM đôi một vuông góc với nhau nên 1 1 1 1 1 a2 7a2 d 2 B, AME d 2 B, AME AB2 MB2 EB2 d 2 B, AME 7 a d B, AME . 7 Câu 26. Lời giải Chọn A Tập xác định của hàm số là \ 0 . Trang 9
10. 1 Ta có: f x f x 0 với x 0 . 3x2 Vậy Tập nghiệm của bất phương trình f x 0 là  . Câu 27. Lời giải Chọn B S I C A B Gọi là trung điểm của ⇒ ⊥ (vì vuông cân tại ). (1) Mặt khác: ⊥ (vì ⊥ ()) (2) Từ (1) và (2), suy ra: ⊥ (). ⇒ là hình chiếu của lên (). ⇒ ,() = (, ) = . √ Xét vuông tại , ta có: = = = . √ ⇒ = 30°. Câu 28. Lời giải Chọn B Ta có: y sin x 2m cos2x. 3 3 Theo đề: y y 2m m m . 3 2 6 Câu 29. Lời giải Chọn D Ta có ′ = cos − . sin ⇒ ′′ = − 2sin − . cos. Khi đó + ′′ = cos + (− 2sin − cos) = − 2sin. Và 2(′ − cos) = 2(cos − sin − cos) = − 2sin. Vậy + ′′ = 2(′ − cos) ⇒ = 0. Câu 30. Lời giải Chọn C Xét y' 3x2 6x Trang 10
11. Tiếp tuyến song song với trục hoành có hệ số góc bằng 0 nên tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số là x 0 nghiệm của phương trình y' 3x2 6x 0 x 2 Với x 0 y 0 ta có tiếp tuyến là: y 0 Với x 2 y 4 ta có tiếp tuyến là: y 4 Câu 31. Lời giải Chọn A Ta tính được s' t 4t . Vận tốc của chất điểm v t s' t 4t v 2 4.2 8 (m/s). Câu 32. Lời giải Chọn D Ta có = ( + 1) − 2( + 1) + (3 + 2) TH1: = −1, ′ = −1, ′ ≤ 0, ∀ ∈ ℝ. Suy ra = −1 thỏa yêu cầu bài toán. TH2: ≠ −1, ′ ≤ 0, ∀ ∈ ℝ ⇔ ( + 1) − 2( + 1) + (3 + 2) ≤ 0, ∀ ∈ ℝ + 1 < 0 ⇔ Δ′ = ( + 1) − ( + 1)(3 + 2) ≤ 0 < −1 ⇔ −2 − 3 − 1 ≤ 0 < −1 ≤ −1 ⇔ 1 ≥ − 2 ⇔ < −1 Vậy ≤ −1 Câu 33. Lời giải Chọn B Tiếp tuyến tại A là một đường thẳng có chiều hướng đi xuống nên f ( xA ) 0 . Tiếp tuyến tại B là một đường thẳng có chiều hướng đi xuống nên f ( xB ) 0 . Tiếp tuyến tại C là một đường thẳng nằm ngang nên f ( xC ) 0 . Trang 11
12. Tiếp tuyến tại D là một đường thẳng có chiều hướng đi lên nên f ( xD ) 0 . Câu 34. Lời giải Chọn A Vì ABCD là hình thoi cạnh a và ABC 120 nên suy ra BAD 60, suy ra BAD đều cạnh a , do vậy ta a 3 thu được kết quả: BD a, AC 2AO 2. a 3 . 2 Trong mặt phẳng SAC dựng OI  SC tại I . BD  AC SC  BI Ta có BD  SAC BD  SC SC  BDI . BD  SA SC  DI Mặc khác, BI và DI là 2 đường cao hạ từ 2 đỉnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau SBC và SCD , nên BI DI suy ra BID cân tại I . SBC  SCD SC Vì BI  SC SBC , SCD BI, DI . DI  SC Nếu BID 90 thì BID BI , DI 60 . Khi đó BID đều cạnh a , điều này không thể xảy ra vì trong tam giác vuông IDC, ID CD a . Do vậy BID 90 BID 180 BI , DI 120 BIO 60 . OB OB a a 3 Xét tam giác vuông BIO , ta có tan BIO OI . OI tan 60 2 3 6 a 3 Trong mặt phẳng SAC dựng AJ  SC tại J , khi đó AJ 2OI . 3 1 1 1 3 1 8 a 6 Trong tam giác vuông SAC , đường cao AJ ta có: SA . SA2 AJ 2 AC 2 a2 3a2 3a2 4 Câu 35. Lời giải Chọn C Dễ thấy 4 − 3 + 1 = 0 ⇔ (2 − 1)( + 1) = 0 có nghiệm kép = . Trang 12
13. Vì hữu hạn nên phương trình √1 + − − 2 = 0 phải có nghiệm kép là = ⇒ 1 + − ( + 2) = 0 có nghiệm kép = ⇔ ( − ) − 4 − 3 = 0 có nghiệm kép = − ≠ 0 − ≠ 0 ⎧ = 16 + 4( − ). 3 = 0 − = − ⇔ ⇔ ⇔ = = −3. ⎨ ( − ). − 4. . − 3 = 0 − . − 4. . − 3 = 0 ⎩ 1 − 3 ≥ 0 Thử lại: Khi = = −3 ta có √1 − 3 + 3 − 2 = 0 ⇔ 1 − 3 = (2 − 3) ⇔ 1 − 3 ≥ 0 ⇔ = (thỏa mãn). 4 − 4 + 1 = 0 () √ Khi đó = lim = lim () = lim = −2 → → () () → √ () Suy ra = −2. Vậy ta có phương trình −3 + 6 − 4 = 0 vô nghiệm. PHẦN II: TỰ LUẬN Câu 36. Lời giải 2 2 x2 x 1 2x 1 2x x 4 x x 1 4x 1 3x2 4x 5 Ta có: y 2 y ' 2 2 . 2x x 4 2x2 x 4 2x2 x 4 Câu 37. Lời giải 4 f x 2sin 2x , f x 4 cos 2x , f x 8sin 2x , f x 16 cos 2x . 3 3 3 3 x k 4 1 2 f x 8 cos 2x k . 3 2 x k 6 Vì x 0; nên lấy được x . 2 2 Câu 38. Lời giải Tung độ của tiếp điểm là y0 f 1 11. Hệ số góc của tiếp tuyến là k f 1 12 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x0 1 là: y 12 x 1 11 y 12x 1. Câu 39. Lời giải Trang 13
14. Ta có d(,( B SAD)) d(,( C SAD)) (vì BC / /(SAD) ). Mặt khác CA 4HA d(,( C SAD)) 4d ( H ,(SAD)). Từ H kẻ HG  AD AD  SH , do đó SGH ((SAD),(ABCD)) 45o . AB Tam giác SHG vuông cân tại H nên ta có SG HG 2 2 a 2 . 4 SG a 2 Kẻ HE  SG , dễ thấy d(,( H SAD)) HE . 2 2 vậy d(,( B SAD)) 4d ( H ,(SAD)) 2a 2 . Trang 14