Kiểm tra học kì 2 môn Toán Lớp 11 - Đề 7 (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Kiểm tra học kì 2 môn Toán Lớp 11 - Đề 7 (Có lời giải chi tiết)

1. KIỂM TRA HỌC KỲ II Môn: TOÁN - Lớp 11 - Chương trình chuẩn ĐỀ SỐ 7 Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Mã đề thi Họ và tên thí sinh: SBD: PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM 1 Câu 1. lim bằng 2n 7 A. 1 . B. . C. 1 . D. 0 . 7 2 n 2020 Câu 2. lim bằng. 2021 1 A. 0 . B. . C. . D. 2 . 2 Câu 3. Giá trị của lim 3x2 2x 1 bằng: x 1 A. . B. 2 . C. 1. D. 3 . Câu 4. Trong các giới hạn dưới đây, giới hạn nào là ? 2x 1 x2 x 1 2x 1 A. lim . B. lim x3 2x 3 . C. lim . D. lim . x 4 4 x x x x 1 x 4 4 x Câu 5. Tìm lim x2 x 2 x 2 . x 3 A. . B. 0 . C. . D. 2 . 2 x2 7x 12 khi x 3 Câu 6. Cho hàm số y x 3 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 khi x 3 A. Hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm tại x0 3. B. Hàm số gián đoạn và không có đạo hàm tại x0 3. C. Hàm số có đạo hàm nhưng không liên tục tại x0 3. D. Hàm số liên tục và có đạo hàm tại x0 3. 3 4x 2 , x 2 Câu 7. Cho hàm số f() x x 2 . Xác định a để hàm số liên tục trên . ax 3 , x 2 1 4 4 A. a 1. B. a . C. a . D. a . 6 3 3 1 y Câu 8. Cho hàm số y . Tính tỉ số theo x và x (trong đó x là số gia của đối số tại x và y x x 0 0 là số gia tương ứng của hàm số) được kết quả là y 1 y 1 y 1 y 1 A. . B. . C. . D. . x x0 x x x0 x x x0 x0 x x x0 x0 x Trang 1
2. x2 1, x 1 Câu 9. Cho hàm số y f x Mệnh đề sai là 2x , x 1. A. f 1 2 . B. f không có đạo hàm tại x0 1. C. f 0 2. D. f 2 4. Câu 10. Tính đạo hàm của hàm số y x x tại điểm x0 4 là: 9 3 5 A. y 4 . B. y 4 6 . C. y 4 . D. y 4 . 2 2 4 Câu 11. Khẳng định nào sau đây sai A. y x y ' 1 . B. y x3 y ' 3x2 . C. y x5 y ' 5x . D. y x4 y ' 4x3 . x 3 Câu 12. Đạo hàm của hàm số y là: x2 1 1 3x 1 3x 1 3x 2x2 x 1 A. . B. . C. 2 . D. . x2 1 x2 1 x2 1 x2 1 x 1 x2 1 x2 1 Câu 13. Cho các hàm số u u x , v v x có đạo hàm trên khoảng J và v x 0 với x J . Mệnh đề nào sau đây sai? 1 v x A. u x v x u x v x . B. . 2 v x v x u x u x . v x v x . u x C. u x. v x u x. v x v x. u x . D. . 2 v x v x Câu 14. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x4 4x2 5 tại điểm có hoành độ x 1. A. y 4x 6. B. y 4x 2. C. y 4x 6. D. y 4x 2. 1 Câu 15. Cho hàm số y x3 x2 2x 1 có đồ thị là C . Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm 3 1 M 1; là: 3 2 2 A. y 3x 2 . B. y 3x 2 . C. y x . D. y x 3 3 Câu 16. Một chất điểm chuyển động có phương trình S 2t 4 6t 2 3t 1 với t tính bằng giây s và S tính bằng mét m . Hỏi gia tốc của chuyển động tại thời điểm t 3 s bằng bao nhiêu? A. 88 m/ s2 . B. 228 m/ s2 . C. 64 m/ s2 . D. 76 m/ s2 . Câu 17. Cho hàm số f x x4 2x2 3. Tìm x để f x 0? A. 1 x 0 . B. x 0 . C. x 0 . D. x 1. Câu 18. Tính đạo hàm của hàm số f x sin x cos x 3 là: Trang 2
3. A. f x sin x cos x . B. f x cos x sin x 3 . C. f x cos x sin x . D. f x sin x cos x . Câu 19. Đạo hàm của hàm số f x sin2 x là: A. f' x 2sin x . B. f' x 2cos x . C. f' x sin 2x . D. f' x sin 2x . Câu 20. Với x 0; , hàm số y 2 sin x 2 cos x có đạo hàm là? 2 cos x sin x 1 1 A. y . B. y . sin x cos x sin x cos x cos x sin x 1 1 C. y . D. y . sin x cos x sin x cos x Câu 21. Tính đạo hàm của hàm số y cos2x . sin 2x sin 2x sin 2x sin 2x A. y . B. y . C. y . D. y . 2 cos2x cos2x cos2x 2 cos2x Câu 22. Tính đạo hàm của hàm số f x sin2 2x cos3x . A. f x 2sin 4x 3sin 3x . B. f x 2sin 4x 3sin 3x . C. f x sin 4x 3sin 3x . D. f x 2sin 2x 3sin 3x Câu 23. Cho hàm số y cos3x .sin 2x . Tính y . 3 1 1 A. . B. . C. 1. D. 1. 2 2 Câu 24. Cho y 2x x2 , tính giá trị biểu thức A y3. y . A. 1. B. 0. C. 1. D. Đáp án khác. Câu 25. Cho hàm số y x3 3x2 x 1. Phương trình y 0 có nghiệm. A. x 2 . B. x 4 . C. x 1. D. x 3 . Câu 26. Trong các mệ nh đ ề sau mệnh đề nào đúng? A. Ba vectơ a,, b c đồng phẳng nếu có hai trong ba vectơ đó cùng phương. B. Ba vectơ a,, b c đồng phẳng nếu có một trong ba vectơ đó bằng vectơ 0. C. Ba vectơ a,, b c đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ đó cùng có giá thuộc một mặt phẳng. D. Cho hai vectơ không cùng phương a và b và một vectơ c trong không gian. Khi đó a,, b c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n duy nhất sao cho c ma nb . Câu 27. Cho hình tứ diện ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng? A. AB và CD cắt nhau. B. AB và CD chéo nhau. C. AB và CD song song. D. Tồn tại một mặt phẳng chứa AB và CD . Câu 28. Cho hình chóp O. ABC có ba cạnh OA, OB , OC đôi một vuông góc và OA OB OC a. Gọi   M là trung điểm cạnh AB . Góc tạo bởi hai vectơ BC và OM bằng A. 135. B. 150. C. 120. D. 60. Câu 29. Cho hình lập phương ABCD. A B C D . Góc giữa hai đường thẳng BA và CD bằng: Trang 3
4. A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90 . Câu 30. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là hai tam giác đều. Gọi M là trung điểm của AB . Khẳng định nào sau đây đúng? A. CM  ABD . B. AB  MCD . C. AB  BCD . D. DM  ABC . Câu 31. Cho hình chóp S. ABC có cạnh SA vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là góc giữa hai đường thẳng nào dưới đây? A. SB và AB . B. SB và SC . C. SA và SB . D. SB và BC . Câu 32. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi và SB vuông góc với mặt phẳng ABCD . Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng SBD ? A. SBC . B. SAD . C. SCD . D. SAC . Câu 33. Cho hình lập phương ABCD. A B C D . Góc giữa ABCD và ABCD bằng A. 45. B. 60. C. 0. D. 90 . Câu 34. Cho hình lăng trụ ABC. A B C có tất cả các cạnh đều bằng a . Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30 . Hình chiếu H của A trên mặt phẳng ABC là trung điểm của BC . Tính theo a khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ ABC. A B C . a a a 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 2 3 2 2 Câu 35. Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại A , AB a , AC a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC bằng a 57 2a 57 2a 3 2a 38 A. . B. . C. . D. . 19 19 19 19 PHẦN 2. TỰ LUẬN Câu 1. Cho các số thực a , b , c thỏa mãn c2 a 18 và lim ax2 bx cx 2 . Tính P a b 5c . x x x 2 2 khi x 2 x 4 2 Câu 2. Cho hàm số f() x x 3b khi x 2 liên tục tại x 2 . Tính I a b? 2a b 6 khi x 2 x2 2mx m Câu 3. Cho hàm số y . Giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại hai điểm và tiếp tuyến x m của đồ thị tại hai điểm đó vuông góc. Câu 4. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , BA BC a , AD 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB . Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) . Trang 4
5. BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.A 3.B 4.A 5.A 6.D 7.D 8.D 9.B 10.D 11.C 12.A 13.B 14.C 15.C 16.B 17.C 18.C 19.D 20.A 21.B 22.B 23.D 24.C 25.C 26.D 27.B 28.C 29.A 30.B 31.A 32.D 33.C 34.A 35.B PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM 1 Câu 1. lim bằng 2n 7 A. 1 . B. . C. 1 . D. 0 . 7 2 Lời giải Chọn D 1 1 Ta có: lim lim n 0 . 2n 7 7 2 n n 2020 Câu 2. lim bằng. 2021 1 A. 0 . B. . C. . D. 2 . 2 Lời giải Chọn A Áp dụng lim qn 0 , q 1 Câu 3. Giá trị của lim 3x2 2x 1 bằng: x 1 A. . B. 2 . C. 1. D. 3 . Lời giải. Chọn B lim 3x2 2x 1 3.12 2.1 1 2. x 1 Câu 4. Trong các giới hạn dưới đây, giới hạn nào là ? 2x 1 x2 x 1 2x 1 A. lim . B. lim x3 2x 3 . C. lim . D. lim . x 4 4 x x x x 1 x 4 4 x Lời giải Chọn A 2x 1 Xét lim x 4 4 x Ta có lim 2x 1 7 0 , lim 4 x 0 và 4 x 0 với mọi x 4 x 4 x 4 2x 1 Do đó lim . x 4 4 x lim x2 x 2 x 2 Câu 5. Tìm x . 3 A. . B. 0 . C. . D. 2 . 2 Trang 5
6. Lời giải Chọn A 2 x2 x 2 x 2 3x 2 lim x2 x 2 x 2 lim lim . x x 2 x 2 x x 2 x 2 x x 2 x 2 2 3 3 lim x . x 1 2 2 2 1 1 x x2 x x2 7x 12 khi x 3 Câu 6. Cho hàm số y x 3 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 khi x 3 A. Hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm tại x0 3. B. Hàm số gián đoạn và không có đạo hàm tại x0 3. C. Hàm số có đạo hàm nhưng không liên tục tại x0 3. D. Hàm số liên tục và có đạo hàm tại x0 3. Lời giải Chọn D x2 7x 12 lim lim x 4 1 y 3 nên hàm số liên tục tại x0 3. x 3 x 3 x 3 x2 7x 12 32 7.3 12 x2 7x 12 lim lim lim x 4 1 y ' 3 1. x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 3 4x 2 , x 2 Câu 7. Cho hàm số f() x x 2 . Xác định a để hàm số liên tục trên . ax 3 , x 2 1 4 4 A. a 1. B. a . C. a . D. a . 6 3 3 Lời giải Chọn D Tập xác định của hàm số là D . 3 4x 2 3 4x 2 Nếu x 2 , ta có f x . Hàm số f x xác định và liên tục trên mỗi khoảng x 2 x 2 ;2 và 2; . Tại x 2 , ta có: f 2 2a 3. Trang 6
7. 3 4x 2 lim f x lim x 2 x 2 x 2 2 3 4x 2 3 4x 23 4x 4 lim 2 x 2 x 2 3 4x 23 4x 4 4 x 2 lim x 2 2 x 2 3 4x 23 4x 4 4 lim 2 x 2 3 4x 23 4x 4 1 3 1 4 Hàm số liên tục tại x 2 khi và chỉ khi lim f x f 2 2a 3 a . x 2 3 3 4 Vậy hàm số liên tục trên  khi và chỉ khi a . 3 1 y Câu 8. Cho hàm số y . Tính tỉ số theo x và x (trong đó x là số gia của đối số tại x và y x x 0 0 là số gia tương ứng của hàm số) được kết quả là y 1 y 1 y 1 y 1 A. . B. . C. . D. . x x0 x x x0 x x x0 x0 x x x0 x0 x Lời giải Chọn D 1 1 x y . x0 x x0 x0 x0 x y 1 Suy ra . x x0 x0 x x2 1, x 1 Câu 9. Cho hàm số y f x Mệnh đề sai là 2x , x 1. A. f 1 2 . B. f không có đạo hàm tại x0 1. C. f 0 2. D. f 2 4. Lời giải f x f 1 2x 2 lim lim 2; x 1 x 1 x 1 x 1 Ta có f x f 1 x2 1 2 lim lim lim x 1 2. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Vậy f 1 f 1 f 1 2. Suy ra hàm số có đạo hàm tại x0 1. Vậy B sai. Câu 10. Tính đạo hàm của hàm số y x x tại điểm x0 4 là: 9 3 5 A. y 4 . B. y 4 6 . C. y 4 . D. y 4 . 2 2 4 Trang 7
8. Lời giải Chọn D 1 1 5 Ta có y 1 y 4 1 . 2 x 2 4 4 Câu 11. Khẳng định nào sau đây sai A. y x y ' 1 . B. y x3 y ' 3x2 . C. y x5 y ' 5x . D. y x4 y ' 4x3 . Lời giải Chọn C +) Ta có: y xn y ' n. xn 1,n * do đó các mệnh đề A, B, D đúng. Vì y x5 y ' 5x4 nên mệnh đề C sai. x 3 Câu 12. Đạo hàm của hàm số y là: x2 1 1 3x 1 3x 1 3x 2x2 x 1 A. . B. . C. 2 . D. . x2 1 x2 1 x2 1 x2 1 x 1 x2 1 x2 1 Lời giải Chọn A x 3 x x2 1 x2 1 1 3x Ta có y 2 . x 1 x2 1 x2 1 Câu 13. Cho các hàm số u u x , v v x có đạo hàm trên khoảng J và v x 0 với x J . Mệnh đề nào sau đây sai? 1 v x A. u x v x u x v x . B. . 2 v x v x u x u x . v x v x . u x C. u x. v x u x. v x v x. u x . D. . 2 v x v x Lời giải Chọn B Câu 14. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x4 4x2 5 tại điểm có hoành độ x 1. A. y 4x 6. B. y 4x 2. C. y 4x 6. D. y 4x 2. Lời giải Chọn C Ta có y 4x3 8x , y 1 4. Điểm thuộc đồ thị đã cho có hoành độ x 1 là: M 1;2 . Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M 1;2 là: y y 1 x 1 2 y 4 x 1 2 y 4x 6. Trang 8
9. 1 Câu 15. Cho hàm số y x3 x2 2x 1 có đồ thị là C . Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm 3 1 M 1; là: 3 2 2 A. y 3x 2 . B. y 3x 2 . C. y x . D. y x 3 3 Lời giải Chọn C y ' x2 2x 2 y ' 1 1 2 2 1 1 Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M 1; là: 3 1 1 2 y y ' 1 x 1 x 1 x 3 3 3 Câu 16. Một chất điểm chuyển động có phương trình S 2t 4 6t 2 3t 1 với t tính bằng giây s và S tính bằng mét m . Hỏi gia tốc của chuyển động tại thời điểm t 3 s bằng bao nhiêu? A. 88 m/ s2 . B. 228 m/ s2 . C. 64 m/ s2 . D. 76 m/ s2 . Lời giải Chọn B Ta có a t S 2t 4 6t 2 3t 1 24t 2 12 Vậy tại thời điểm t 3 thì gia tốc của chuyển động bằng: a 3 24.32 12 228 m/ s2 . f x x4 2x2 3 f x 0 Câu 17. Cho hàm số . Tìm x để ? A. 1 x 0 . B. x 0 . C. x 0 . D. x 1. Lời giải Chọn C f x 0 4x3 4x 0 4x x2 1 0 x 0. Câu 18. Tính đạo hàm của hàm số f x sin x cos x 3 là: A. f x sin x cos x . B. f x cos x sin x 3 . C. f x cos x sin x . D. f x sin x cos x . Lời giải Chọn C. Câu 19. Đạo hàm của hàm số f x sin2 x là: A. f' x 2sin x . B. f' x 2cos x . C. f' x sin 2x . D. f' x sin 2x . Lời giải Chọn D f' x 2sinx . sin x ' 2sinx .cos x sin 2x . Câu 20. Với x 0; , hàm số y 2 sin x 2 cos x có đạo hàm là? 2 Trang 9
10. cos x sin x 1 1 A. y . B. y . sin x cos x sin x cos x cos x sin x 1 1 C. y . D. y . sin x cos x sin x cos x Lời giải Chọn A. cos x sin x cos x sin x Ta có: y 2 2 . 2 sin x 2 cos x sin x cos x Câu 21. Tính đạo hàm của hàm số y cos2x . sin 2x sin 2x sin 2x sin 2x A. y . B. y . C. y . D. y . 2 cos2x cos2x cos2x 2 cos2x Lời giải Chọn B cos2x 2sin 2x sin 2x Ta có: y . 2 cos2x 2 cos2x cos2x sin 2x Vậy y . cos2x Câu 22. Tính đạo hàm của hàm số f x sin2 2x cos3x . A. f x 2sin 4x 3sin 3x . B. f x 2sin 4x 3sin 3x . C. f x sin 4x 3sin 3x . D. f x 2sin 2x 3sin 3x Lời giải f x 2sin 2x . sin 2x 3sin 3x 2.2.sin2x .cos2x 3sin 3x 2sin 4x 3sin3x . Câu 23. Cho hàm số y cos3x .sin 2x . Tính y . 3 1 1 A. . B. . C. 1. D. 1. 2 2 Lời giải Ta có y cos3x .sin 2x cos3x . sin 2x 3sin 3x .sin 2x 2cos3x .cos 2x . 2 2 Do đó y 3sin .sin 2cos .cos 1. 3 3 3 2 3 Câu 24. Cho y 2x x , tính giá trị biểu thức A y. y ''. A. 1. B. 0. C. 1. D. Đáp án khác. Lời giải Chọn C 1 x 1 Ta có: y ' ,y '' 2 3 2x x 2x x2 Do đó: A y3. y '' 1. Câu 25. Cho hàm số y x3 3x2 x 1. Phương trình y 0 có nghiệm. Trang 10
11. A. x 2 . B. x 4 . C. x 1. D. x 3 . Lời giải Chọn C TXĐ D Ta có y 3x2 6x 1, y 6x 6 y 0 x 1 Câu 26. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. Ba vectơ a,, b c đồng phẳng nếu có hai trong ba vectơ đó cùng phương. B. Ba vectơ a,, b c đồng phẳng nếu có một trong ba vectơ đó bằng vectơ 0. C. Ba vectơ a,, b c đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ đó cùng có giá thuộc một mặt phẳng. D. Cho hai vectơ không cùng phương a và b và một vectơ c trong không gian. Khi đó a,, b c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n duy nhất sao cho c ma nb . Lời giải Chọn D Theo định lý về tính đồng phẳng của ba vectơ chọn D Câu 27. Cho hình tứ diện ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng? A. AB và CD cắt nhau. B. AB và CD chéo nhau. C. AB và CD song song. D. Tồn tại một mặt phẳng chứa AB và CD . Lời giải Chọn B Do ABCD là hình tứ diện nên bốn điểm ABCD,,, không đồng phẳng (loại đáp án A, C, D). Câu 28. Cho hình chóp O. ABC có ba cạnh OA, OB , OC  đôi một vuông góc và OA OB OC a. Gọi M là trung điểm cạnh AB . Góc tạo bởi hai vectơ BC và OM bằng A. 135. B. 150. C. 120. D. 60. Lời giải Chọn C A M O C B  1   OM OA OB   1 a2 Ta có 2 OM. BC OB2 .    2 2 BC OC OB 1 1 a 2 BC OB2 OC 2 a 2 và OM AB OA2 OB2 . 2 2 2 2   a   OM. BC 1   Do đó: cos OM, BC 2 OM. BC 120 . OM. BC a 2 2 .a 2 2 Câu 29. Cho hình lập phương ABCD. A B C D . Góc giữa hai đường thẳng BA và CD bằng: A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90 . Lời giải Trang 11
12. A D B C A D B C Có CD// AB BA , CD BA , BA ABA 45 (do ABB A là hình vuông). Câu 30. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là hai tam giác đều. Gọi M là trung điểm của AB . Khẳng định nào sau đây đúng? A. CM  ABD . B. AB  MCD . C. AB  BCD . D. DM  ABC . Lời giải D A C M B CM  AB   AB  CDM . DM  AB Câu 31. Cho hình chóp S. ABC có cạnh SA vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là góc giữa hai đường thẳng nào dưới đây? A. SB và AB . B. SB và SC . C. SA và SB . D. SB và BC . Lời giải Chọn A S A C B Ta có: Hình chiếu của SB trên mặt phẳng (ABC) là AB nên góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là góc giữa hai đường thẳng SB và AB . Trang 12
13. góc với m ặt phẳng ABCD . Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng SBD ? A. SBC . B. SAD . C. SCD . D. SAC . Lời giải Chọn D AC  BD Ta có AC  SBD SAC  SBD . AC  SB Câu 33. Cho hình lập phương ABCD. A B C D . Góc giữa ABCD và ABCD bằng A. 45. B. 60. C. 0. D. 90 . Lời giải Chọn C A' D' B' C' A D B C Ta thấy hai mặt phẳng ABCD và ABCD là hai mặt đáy của hình lập phương nên chúng song song với nhau. Vậy góc giữa ABCD và ABCD bằng ABCD , ABCD 0. Câu 34. Cho hình lăng trụ ABC. A B C có tất cả các cạnh đều bằng a . Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30 . Hình chiếu H của A trên mặt phẳng ABC là trung điểm của BC . Tính theo a khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ ABC. A B C . a a a 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 2 3 2 2 Trang 13
14. Lời giải Chọn A. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30 nên AA H 30 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ ABC. A B C bằng a AH AA .sin AA H AA .sin 30 . 2 Câu 35. Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại A , AB a , AC a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC bằng a 57 2a 57 2a 3 2a 38 A. . B. . C. . D. . 19 19 19 19 Lời giải Chọn B Từ A kẻ AD  BC mà SA  ABC SA  BC BC  SAD SAD  SBC mà SAD  SBC SD Từ A kẻ AE  SD AE  SBC d A; SBC AE 1 1 1 4 Trong ABC vuông tại A ta có: AD2 AB2 AC 2 3a2 1 1 1 19 2a 57 Trong SAD vuông tại A ta có: AE AE 2 AS 2 AD2 12a2 19 PHẦN 2. TỰ LUẬN Trang 14
15. Câu 1. Cho các số thực a , b , c thỏa mãn c2 a 18 và lim ax2 bx cx 2 . Tính P a b 5c . x Lời giải a c2 x2 bx Ta có lim ax2 bx cx 2 lim 2 . x x 2 ax bx cx a c2 0 a, c 0 2 Điều này xảy ra . (Vì nếu c 0 thì lim ax bx cx ). b x 2 a c Mặt khác, ta cũng có c2 a 18 . 2 a c 9 Do đó, a 9 , b 12 , c 3. Vậy P a b 5c 12 . b 2 a c x x 2 2 khi x 2 x 4 2 Câu 2. Cho hàm số f() x x 3b khi x 2 liên tục tại x 2 . Tính I a b? 2a b 6 khi x 2 Lời giải x x 2 x x 2 x x 2 x2 x 2 Ta có lim f x lim 2 lim lim x 2 x 2 x 4 x 2 x2 4 x x 2 x 2 x2 4 x x 2 (x 2)(x 1) x 1 3 lim lim x 2 (x 2)(x 2)(x x 2) x 2 (x 2)(x x 2) 16 lim f( x ) lim(x2 ax 3b ) 2a 3b 4 x 2 x 2 f (2) 2a b 6 3 2a 3b 4 179 16 a Hàm số liên tục tại x 2 lim f( x ) lim f() x f (2) 32 x 2 x 2 3 2a b 4 b 5 16 19 Vậy a b . 32 x2 2mx m Câu 3. Cho hàm số y . Giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại hai điểm và tiếp tuyến x m của đồ thị tại hai điểm đó vuông góc. Lời giải x2 2mx m Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số C : y và trục hoành: x m x2 2mx m x2 2mx m 0 * 0 . x m x m Trang 15
16. x2 2mx m Đồ thị hàm số y cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt phương trình * có hai x m 2 m 0 m 1 m m 0 nghiệm phân biệt khác m 1 . 3m2 m 0 m 3 2 Gọi M x0; y0 là giao điểm của đồ thị C với trục hoành thì y0 x0 2mx0 m 0 và hệ số góc của tiếp tuyến với C tại M là: 2 2x0 2m x0 1 x0 2mx0 m 2x 2m k y x 0 . 0 2 x m x0 m 0 2x1 2m Vậy hệ số góc của hai tiếp tuyến với C tại hai giao điểm với trục hoành là k1 , x1 m 2x2 2m k2 . x2 m 2x1 2m 2x2 2m Hai tiếp tuyến này vuông góc k1. k2 1 1 x1 m x2 m 2 2 4 x1 x 2 m x1 x2 m x1 x 2 m x1 x2 m . x1 x 2 m 2 m 0 Ta lại có , do đó m 5m 0 . Nhận m 5. x1 x2 2m m 5 Câu 4. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , BA BC a , AD 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB . Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) . Lời giải S F E K N H D A B C M Trong ( ABCD) gọi M ABCD , trong (SAM ) gọi K AH SM , kẻ AE  SC tại E và gọi N là trung điểm của AD . Dễ thấy ABCN là hình vuông nên NC AB a. Do đó NA NC ND a ACD vuông tại C CD  AC , lại có CD  SA CD  (SAC ) (SAC )  (SCD) . Trang 16
17. (SAC)( SCD) (SAC)( SCD) SC Vậy AE  SCD . AE  (SAC) AE  SC Trong ( AKE) kẻ HF// AE, F KE , thì từ (1) suy ra HF  (SCD) d H,( SCD) HF . MB BC a 1 Do BC// AD MA 2AB 2a B là trung điểm của MA. MA AD 2a 2 BH BH. BS BA2 a2 1 Lại có . BS BS 2 AB2 AS 2 a2 (a 2)2 3 HF KH 1 1 Vậy H là trọng tâm của tam giác SAM , do đó HF AE . AE KA 3 3 Tứ diện ADMS có ba cạnh AD, AM , AS đôi một vuông góc và AE  (SMD) nên 1 1 1 1 1 1 1 1 AE a . AE 2 AD 2 AM 2 AS 2 4a 2 4a 2 2a 2 a 2 1 a Vậy d H (SCD) HF AE . s 3 3 Trang 17