Kỳ thi Olympic Toán truyền thống 30 tháng 4 lần thứ XXVI Lớp 11 - Năm học 2021-2022 - Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong (Có đáp án)

Nội dung text: Kỳ thi Olympic Toán truyền thống 30 tháng 4 lần thứ XXVI Lớp 11 - Năm học 2021-2022 - Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 THÁNG 4 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LẦN THỨ XXVI - NĂM 2021 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Ngày thi: 03/4/2021 LÊ HỒNG PHONG MÔN THI: TOÁN – KHỐI: 11 THỜI GIAN: 180 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Hình thức làm bài: Tự luận Đề thi có 01 trang Lưu ý: - Thí sinh làm mỗi câu trên một tờ giấy riêng và ghi rõ câu số mấy ở trang 1 của mỗi tờ giấy làm bài - Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Câu 1. (4,0 điểm) Cho a,, b c là các số thực dương có tổng bằng 2. Chứng minh rằng: 2 2 a2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 2 a 2 b 2 c 2 . Câu 2. (3,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số f :(0; ) (0; ) thỏa mãn điều kiện y f( x f ( y )) xf 1 f với mọi x, y (0; ). x Câu 3. (4,0 điểm) a. Cho m, n là các số nguyên dương sao cho 2m n là ước dương của n 1. Chứng minh rằng phương trình x2m y 2 m () x y n có nghiệm nguyên dương. b. Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho phương trình x304 y 304 () x y n có nghiệm nguyên dương? Câu 4. (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp đường tròn (O ). Gọi ABC ,, là chân đường cao hạ từ các đỉnh ABC,,. Một đường tròn qua BC , tiếp xúc với cung nhỏ BC của ()O tại A1. Các điểm BC1, 1 xác định tương tự. AB cot B a. Chứng minh rằng 1 . ACC1 cot b. Vẽ các hình bình hành B1 ABX, C 1 ACY . Chứng minh rằng các điểm XYA, , 1 và A0 thuộc một đường tròn với AA0 là đường kính của (O ). c. Vẽ các hình bình hành BACA1 2,,. CB 1 AB 2 AC 1 BC 2 Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC2 2 2 đi qua trực tâm của tam giác ABC. Câu 5. (4,0 điểm) Bộ hai số nguyên khác không x, y được gọi là “bộ số đẹp” nếu x là số lẻ, y là số chẵn, x, y nguyên tố cùng nhau và x2 y 2 là số chính phương. a. Chứng minh rằng x, y là “bộ số đẹp” khi và chỉ khi tồn tại 2 số nguyên u, v khác 0 và khác tính chẵn lẻ, nguyên tố cùng nhau sao cho x, y u2 v 2 , 2 uv . b. Với mỗi “bộ số đẹp” x, y ta có thể tạo ra 1 “bộ số đẹp” mới bởi 1 trong 2 phép biến đổi: hoặc đổi dấu của 1 trong 2 số hoặc cộng 1 số nguyên k nào đó vào cả 2 số sao cho x k, y k là “bộ số đẹp”. Chứng minh rằng với bất kỳ 2 bộ số đẹp x, y và z, t cho trước ta luôn có thể biến đổi từ x, y thành z, t sau hữu hạn các bước biến đổi như trên. HẾT Họ tên thí sinh: SBD: Trường: Tỉnh/TP:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 THÁNG 4 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LẦN THỨ XXVI - NĂM 2021 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Ngày thi: 03/4/2021 LÊ HỒNG PHONG MÔN THI: TOÁN 11 - THỜI GIAN: 180 phút Hình thức làm bài: Tự luận ĐÁP ÁN Đáp án có 06 trang Nội dung Điểm Cho a,, b c là các số thực dương thay đổi có tổng bằng 2. Chứng minh rằng Bài 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 2 2 a b b c c a 2 a b c .  Cách 1: Xét u a, b , v b, c , w c, a .  u v w a b c, a b c 2;2   Ta có uvwuvw ab2 2 bc 2 2 ca 2 2 2 2 . 2 2 a b a b Cách 2: Ta có a2 b 2 a 2 b 2 . 2 2 Tương tự cho các số hạng còn lại, ta được a2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 2 a b c 2 2 . Do bất đẳng thức đối xứng nên giả sử a min a , b , c . a2 a Ta có a2 b 2 ab b 2 a 2 b 2 b . 4 2 a2 a a2 c 2 ac c 2 a 2 c 2 c . 4 2 2 b2 c 2 a 2 b 2 c 2 . Cộng vế với vế, ta được ab2 2 bc 2 2 caabcabc 2 2 2 2 2 a2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 2 a 2 b 2 c 2 .
3. Tìm tất cả các hàm số thực f :(0; ) (0; ) thỏa mãn điều kiện Bài y 3 2 f( x f ( y )) xf 1 f với mọi số thực x, y (0; ). x Ta có f( x f ( x )) xf 1 f 1 cx với mọi x (0; ) (1) và 1 c f 1 f (1) . Thay x thành x f() x vào (1) 1 Suy ra fxfx( ( ) fxfx ( ( ))) cxfx ( ( )) với mọi x (0; ) (2). Thế (1) vào (2): f( x f ( x ) cx ) c ( x f ( x )) với mọi x (0; ). f(( c 1) x f ( x )) c ( x f ( x )) với mọi x (0; ) (3). 1 Mặt khác theo đề bài thì f(( c 1) x f ())( x c 1) xf 1 f (4). c 1 1 Từ (3) và (4), suy ra (c 1) xf 1 f c ( x f ( x )) với mọi 1 c 1 x (0; ). Suy ra f() x ax với mọi x (0; ). Do f :(0; ) (0; ) nên a (0; ). Thử lại thấy thỏa mãn.
4. a) Cho m, n là các số nguyên dương sao cho 2m n là ước nguyên dương của Bài 2m 2 m n 1 3 n 1. Chứng minh rằng phương trình x y () x y có nghiệm nguyên dương. n 1 2m 2 m n a) Chọn x y 22m n thì x y (). x y 1 Suy ra phương trình có nghiệm nguyên dương. b) Có mấy số nguyên dương n sao cho phương trình x304 y 304 () x y n có 2 nghiệm nguyên dương. Nếu n 304, vì x, y 0 ta có ngay ()x yn x n y n x304 y 304 nên phương trình không có nghiệm nguyên dương. 0,5 304 304 Nếu n 1 thì x y x y có nghiệm nguyên dương x y 1 . Xét 2 n 303. Giả sử phương trình có nghiệm nguyên dương (x , y ). Đặt x da, y db với (a , b ) 1. Ta được d304 a 304 b 304 dn a b n d304 n()(). a 304 b 304 a b n (1) 304 n 304 304 Suy ra a b d( a b ). 1 Lại có a b()() a2 b 2 a b d 304 n a 304 b 304 nên a b2 d304 n . a 304 Do a b, a 1 a b2 d 304 n (2) Trường hợp 1: a, b cùng lẻ 2d304 n ( a b ) k . r với r a b , k 1 Thế vào (1): r a304 b 304 2 a b n k (3) Nếu n k thì r a304 b 304 2 r 1  a 304 b 304 2 (do a, b cùng lẻ) r 1 a b . Thế vào (1): d 304 n 2 n 1 2 Suy ra d 2k với k 1, k và n 1 k (304 n ). 1 Suy ra n 1 n 304 303 (304 n ) 304 n 303. Suy ra n 303,301,203 .  Nếu n k thì (3) r a304 b 304 2 a b Mà r a304 b 304  a 2 b 2 2 a b Cộng vế với vế ta được ra304  a b Mà a304 , a b 1 nên r() a b (mâu thuẫn). Trường hợp 2: a, b khác tính chẵn lẻ a b là số lẻ. Từ (*) abd 304 n d 304 n ( absl ) l . 1, sab ( ) . Thế vào (1): s()() a304 b 304 a b n l 304 304 Vì VT 2 n l 1 s a b  a b 0,5 Mà s a304 b 304  a 2 b 2  a b Cộng vế với vế ta được 2sa304  a b Mà 2a304 , a b 1 nên s() a b (mâu thuẫn).
5. Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp đường tròn (O ). Gọi ABC ,, là Bài chân đường cao hạ từ các đỉnh Một đường tròn qua tiếp xúc với ABC,,. BC, 5 4 cung nhỏ BC của ()O tại A1. Các điểm BC1, 1 xác định tương tự. AB1 cot B a) Chứng minh . 2 ACC1 cot Giả sử các điểm có vị trí như hình vẽ, các trường hợp khác chứng minh tương tự. a) Các đường tròn (A1 B C ),( O ),( BCB C ) có các trục đẳng phương của từng cặp đường tròn đồng quy tại tâm đẳng phương P PA là tiếp tuyến chung của đường tròn (ABCO ),( ) 1 1 tam giác PA B đồng dạng tam giác PCA 1 1 A BPB PA PB 2 1 1 . AC PA PC PC 1 1 PB A Bcot B Chú ý (PA’BC)=-1, ta được . PC A Ccot C AB cot B Vậy 1 . ACC1 cot b) Vẽ các hình bình hành B1 ABX, C 1 ACY . Chứng minh A1 () XYA 0 với AA0 2 là đường kính của (O ). BC cot C CA cot A ABBCCA Tương tự câu a) ta được 1 , 1 1. 1 . 1 1. BAA1 cot CBB1 cot ACBACB1 1 1 sin BAA1 sin CBB 1 sin ACC 1 2 . . 1 . sin A1 AC sin B 1 BA sin C 1 CB Theo định lý Ceva sin ta có AA1,, BB 1 CC 1 đồng quy tại T .
6. Gọi X ' là trung điểm AX . Do AB1 XB là hình bình hành nên X ' là trung 0 điểm BB1 . Suy ra OX' T 90 . Gọi YT', ' là trung điểm AY , AA1 . Chứng minh tương tự, ta được OT ' T OY ' T 900 Suy ra XYT', ', ' thuộc đường tròn đường kính OT . Suy ra OXYT ( ' ' '). Xét phép vị tự tâm A tỉ số 2: XX' YY' TA' 1 OA 0 Do XYTO', ', ', đồng viên nên XYAA,,,1 0 đồng viên. Vậy A0 () XYA 1 . c) Vẽ các hình bình hành BACA,,. CB AB AC BC Chứng minh ()ABC đi 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 qua trực tâm của tam giác   ABC.   Do CY AC ( C ACY là hình bình hành) và AC C B ( AC BC là hình bình  1 1  1 2 1 2 hành) nên CY C2 B nênC2 đối xứng Y qua trung điểm BC. Tương tự B2 đối xứng X qua trung điểm BC. Do trực tâm H của tam giác ABC đối xứng A0 qua trung điểm BC. Gọi I là trung điểm BC. Xét phép đối xứng tâm I. YC 2 1 XB 2 AA1 2 AH0 Theo câu b ta có XYAA,,,1 0 đồng viên nên HABC,,,2 2 2 đồng viên Vậy H() ABC2 2 2 .
7. Bộ hai số nguyên khác không x, y được gọi là “bộ số đẹp” nếu x là số lẻ, y Bài 4 5 là số chẵn, x, y nguyên tố cùng nhau và x2 y 2 là số chính phương. a) Chứng minh rằng x, y là “bộ số đẹp” khi và chỉ khi tồn tại 2 số nguyên u, v khác 0 và khác tính chẵn lẻ, nguyên tố cùng nhau sao cho 1,5 x, y u2 v 2 , 2 uv . Nhận xét nếu cặp x, y là cặp số đẹp thì tồn tại số nguyên dương z sao cho x2 y 2 z 2 Có z là số lẻ và nguyên tố cùng nhau với x và y (do (x, y) = 1). Giả sử 0,5 x, y 0 , x là số lẻ và y 2 t là số chẵn. Ta có x2 4 t 2 z 2 4 t 2 ( z x )( z x ) Ta có z – x, z + x là hai số cùng chẵn suy ra tồn tại hai số nguyên m, n sao cho z x 2 m , z x 2 n và m. n t 2 . 0.5 z m n . x m n Do (z, x) = 1 nên (m, n) = 1. Mà m. n t 2 nên tồn tại hai số nguyên dương u, v nguyên tố cùng nhau sao 0.5 cho m u2 , n v2 và u. v t . Vậy x u2 v 2 , y 2 uv . b) Với mỗi “bộ số đẹp” x, y ta có thể tạo ra 1 “bộ số đẹp” mới bởi 1 trong 2 phép biến đổi: hoặc đổi dấu của 1 trong 2 số hoặc cộng 1 số nguyên k nào đó vào cả 2 số sao cho x k, y k là “bộ số đẹp”. Chứng minh rằng với bất kỳ 2,5 2 bộ số đẹp x, y và z, t cho trước ta luôn có thể biến đổi từ x, y thành z, t sau hữu hạn các bước biến đổi như trên. Ta thực hiện biến đổi: Bước 1: Biến đổi x, y thành x0, y 0 với x0, y 0 0 . Bước 2: Với bộ x0, y 0 ở trên, ta có hai số u, v tương ứng ( u v ) thỏa mãn 2 2 x0 u v 0, y 0 2 uv . 2 Nếu u 2 v thì ta biến đổi bằng cách cộng vào 2 số x0, y 0 một số 4uv 4 v , ta được u2 v 2 4 uv 4 v 2 (2 v u ) 2 v 2 , 2uv 4 uv 4 v2 2 v (2 v u ) . Khi 2,5 đó ta thực hiện phép biến đổi bộ u2 v 2;2 uv thành (2v u )2 v 2 ,2 v (2 v u ) . Ta có u 2 v u . Suy ra quá trình trên phải kết thúc sau một số phép biến đổi. Khi đó ta có u 2 v . Vì u, v 1 (2 v , v ) 1 v 1 u 2 .