Bài tập trắc nghiệm ôn tập Hình học Lớp 11 - Vecto trong không gian (Có hướng dẫn giải)

Nội dung text: Bài tập trắc nghiệm ôn tập Hình học Lớp 11 - Vecto trong không gian (Có hướng dẫn giải)

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 1. Định nghĩa và các phép toán Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng. Lưu ý:    + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB BC AC  + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB AD AC     + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. A B C D , ta có: AB AD AA' AC ' + Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.      Ta có: IA IB 0 ; OA OB 2OI + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có:        GA GB GC 0; OA OB OC 3OG + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có:          GA GB GC GD 0; OA OB OC OD 4OG + Điều kiện hai vectơ cùng phương: a và b (a 0) !k R :b ka + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k 1), O tuỳ ý. Ta có:      OA kOB MA kMB; OM 1 k 2. Sự đồng phẳng của ba vectơ Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a,b,c , trong đó a và b không cùng phương. Khi đó: a,b,c đồng phẳng ! m, n R: c ma nb Cho ba vectơ a,b,c không đồng phẳng, x tuỳ ý. Khi đó: ! m, n, p R: x ma nb pc 3. Tích vô hướng của hai vectơ Góc giữa hai vectơ trong không gian:   AB u, AC v (u,v) B· AC (00 B· AC 1800 ) Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: + Cho u,v 0 . Khi đó: u.v u . v .cos(u,v) + Với u 0 hoaëc v 0 . Qui ước: u.v 0 + u  v u.v 0 4. Các dạng toán thường gặp: a) Chứng minh đẳng thức vec tơ. b) Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng và bốn điểm đồng phẳng, phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng. + Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách: - Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng. - Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n R: c ma nb thì a,b,c đồng phẳng + Để phân tích một vectơ x theo ba vectơ a,b,c không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao cho: x ma nb pc c) Tính tích vô hướng cuả hai véc tơ trong không gian d) Tính độ dài của đoạn thẳng, véctơ. 2 2 2 + Để tính độ dài của một đoạn thẳng theo phương pháp vec tơ ta sử dụng cơ sở a a a a . Vì vậy để tính độ dài của đoạn ta thực hiện theo các bước sau: MN - Chọn ba vec tơ không đồng phẳng a,b,c so cho độ dài của chúng có thể tính được và góc giữa chúng có thể tính được.
2.  - Phân tích MN ma nb pc   2 2 - Khi đó MN MN MN ma nb pc 2 2 2 m2 a n2 b p2 c 2mncos a,b 2npcos b,c 2mpcos c,a e) Sử dụng điều kiện đồng phẳng của bốn điểm để giải bài toán hình không gian. Sử dụng các kết quả    A,B,C,D là bốn điểm đồng phẳng DA mDB nDC A,B,C,D là bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với mọi điểm O bất kì ta có     OD xOA yOB zOC trong đó x y z 1. B – BÀI TẬP    Câu 1: Cho hình lăng trụ ABC.A B C , M là trung điểm của BB . Đặt CA a , CB b , AA c . Khẳng định nào sau đây đúng?  1  1  1 A. AM b c a . B. AM a c b . C. AM a c b . D. 2 2 2  1 AM b a c . 2 Hướng dẫn giải: A' C' Chọn D. B' Ta phân tích như sau:      1  AM AB BM CB CA BB 2 M 1  1 A C b a AA b a c . 2 2 B Câu 2: Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A , B , C , D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A , B , C , D tạo thành hình bình hành là     A. OA OB OC OD 0 . B. OA OC OB OD . 1 1 1 1 C. OA OB OC OD . D. OA OC OB OD . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: O Chọn B. Trước hết, điều kiện cần và đủ để ABCD là hình bình hành là:    A BD BA BC . D Với mọi điểm O bất kì khác A , B , C , D , ta có:          BD BA BC OD OB OA OB OC OB B     C OA OC OB OD .    Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA a ; SB b ; SC c ;  SD d . Khẳng định nào sau đây đúng? A. a c d b . B. a b c d . C. a d b c . D. a b c d 0 . Hướng dẫn giải: S Chọn A. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD . Ta phân tích như sau:    d SA SC 2SO a c    (do tính chất của đường trung tuyến) b A SB SD 2SO D     SA SC SB SD a c d b . O B C Câu 4: Cho tứ diện ABCD . Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đặt AB b,   AC c , AD d . Khẳng định nào sau đây đúng?  1  1 A. MP c d b . B. MP d b c . 2 2
3. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 1. Định nghĩa và các phép toán Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng. Lưu ý:    + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB BC AC  + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB AD AC     + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. A B C D , ta có: AB AD AA' AC ' + Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.      Ta có: IA IB 0 ; OA OB 2OI + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có:        GA GB GC 0; OA OB OC 3OG + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có:          GA GB GC GD 0; OA OB OC OD 4OG + Điều kiện hai vectơ cùng phương: a và b (a 0) !k R :b ka + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k 1), O tuỳ ý. Ta có:      OA kOB MA kMB; OM 1 k 2. Sự đồng phẳng của ba vectơ Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a,b,c , trong đó a và b không cùng phương. Khi đó: a,b,c đồng phẳng ! m, n R: c ma nb Cho ba vectơ a,b,c không đồng phẳng, x tuỳ ý. Khi đó: ! m, n, p R: x ma nb pc 3. Tích vô hướng của hai vectơ Góc giữa hai vectơ trong không gian:   AB u, AC v (u,v) B· AC (00 B· AC 1800 ) Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: + Cho u,v 0 . Khi đó: u.v u . v .cos(u,v) + Với u 0 hoaëc v 0 . Qui ước: u.v 0 + u  v u.v 0 4. Các dạng toán thường gặp: a) Chứng minh đẳng thức vec tơ. b) Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng và bốn điểm đồng phẳng, phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng. + Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách: - Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng. - Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n R: c ma nb thì a,b,c đồng phẳng + Để phân tích một vectơ x theo ba vectơ a,b,c không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao cho: x ma nb pc c) Tính tích vô hướng cuả hai véc tơ trong không gian d) Tính độ dài của đoạn thẳng, véctơ. 2 2 2 + Để tính độ dài của một đoạn thẳng theo phương pháp vec tơ ta sử dụng cơ sở a a a a . Vì vậy để tính độ dài của đoạn ta thực hiện theo các bước sau: MN - Chọn ba vec tơ không đồng phẳng a,b,c so cho độ dài của chúng có thể tính được và góc giữa chúng có thể tính được.