Các bài toán ôn tập kiểm tra 1 tiết môn Toán Lớp 11 - Chương 1 Phép dời hình và phép đồng dạng - Trường THPT Nguyễn Hiền (Có hướng dẫn giải)

Nội dung text: Các bài toán ôn tập kiểm tra 1 tiết môn Toán Lớp 11 - Chương 1 Phép dời hình và phép đồng dạng - Trường THPT Nguyễn Hiền (Có hướng dẫn giải)

1. THPT Nguyễn Hiền Đà Nẵng CÁC BÀI TOÁN ÔN TẬP KIỂM TRA 1 TIẾT CHƯƠNG I: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG ( Có hướng dẫn giải ) CÁC BÀI TOÁN TỌA ĐỘ : Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét phép biến hình F biến mỗi điểm M(x;y) thành điểm M'(x+1; y ). Chứng minh F là 1 phép tịnh tiến. Hướng dẫn : - Tính được MM ' =(1;0 - Lí luận để suy ra F là phép tinh tiến Bài 2 : Phép biến hình F biến một điểm M(x;y) thành điểm M’(ax;y) a).Với các điểm M1 (x1;y1), N1(x2;y2). Tìm ảnh M’1 , N’1 lần lượtc của M1, N1 qua F. b).Tìm a để F là phép dời hình. c).Với các giá trị a tìm được ở câu b, xác định cụ thể tên của phép dời hình trong các phép dời hình cơ bản đã học ứng với mỗi a tìm được. Hướng dẫn : b) a = ± 1 c) a = 1, F là phép đồng nhất a = -1, F là phép đối xứng trục Oy Bài 3 : Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng có phương trình x + 2y – 3 = 0 và điểm A(1, 1) a). Hãy tìm ảnh của điểm A và d qua O b). Hãy tìm ảnh của d qua phép vị tự tâm A tỉ số 3 Hướng dẫn : a). Khi lấy đối xứng qua Ox, mọi điểm M(x, y) biến thành điểm M’(x, -y). Do đó, A biến thành A’(2, -1) và ảnh của đ/thẳng là đường thẳng có PT 2x + y +1 = 0 b). M(x, y) ∈ dbiến M’(x’,y’) ∈ d’ sao cho: x'= 2x + 4 ⇔ + + = AM ' =2 AM  Từ đó, ta có 2x' y' 12 0 y'= 2y + 2 Bài 4 : Trong mặt phẳng Oxy, hãy viết phương trình ảnh của đường thẳng (d) : y = 2x - 3 và r parabol (P) y = x2 + x + 2 qua phép tịnh tiến theo vectơ v = ( 3;0) . Hướng dẫn : •=yx2− 3 ( d ) . Gọi M(x; y) ∈ (d) ⇒ y = 2x - 3. (1) xx'=+3 x = x '− 3 MTM' =r ( ) ⇒⇒  . v yy'=y = y ' Thay vào (1), ta được : y’ = 2(x’ - 3) - 3 = 2x’ - 9. KẾT LUẬN : y = 2x - 9. •=yxx2 + + 2 ( P ) Gọi N(x, y) ∈ (P) ⇒ y= x2 + x + 2. (2) 1
2. THPT Nguyễn Hiền Đà Nẵng xx'=+3 x = x '− 3 NTN' =r ( ) ⇒⇒  . v yy'=y = y ' Thay vào (2), ta được : y’ = (x’ - 3)2 + x’ - 3 +2 = x’2 - 5x’ + 8. KẾT LUẬN : y = x2 - 5x + 8. Bài 5 : Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 -2x - 4y - 4 = 0. Hãy tìm ảnh của (C) qua phép đối xứng trục (d) : 2x - y + 1 = 0. Hướng dẫn : x2+ y2 − 2x − 4y − 4 = 0⇔( x− 1) 2+( y −2) 2 = 9 ⇒ ( C ) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 3. Gọi (d1) là đường thẳng qua I(1; 2) và vuông góc (d0). r = ( ) ⇒ (d1) có VTPT n 1;2 . ⇒ (d1) : 1(x - 1) 2(y - 2) = 0 ⇒ (d1) : x + 2y - 5 = 0.  3 x = 2x− y +1 = 0   ⇒⇒5 ⇒ 3 11 Gọi H là giao điểm của (d) và (d1)  H ; ÷. x+2 y −50 = 11 5 5  y =  5 = ( ) Gọi I' §d I . Khi đó H là trung điểm II’.  = 1 x 22  I ' 5 1 12  112  ⇒ ⇒ I ';÷ Vậy PT đường tròn cần tìm là : x−÷+y −÷ = 9. 12 5 5   Y = 55  I ' 5 Bài 6 : Cho đường tròn (C) : (x + 3 )2 + y2 = 9. Hãy viết phương trình đường tròn (C’) qua π phép quay tâm O(0; 0) , góc quay − . 2 Hướng dẫn : • Tìm tọa độ M'( x '; y ') là ảnh của M( x; y ) qua phép quay Q ( 0;α ) . Đặt β =( Ox,OM) ;OM= a . Ta có : ( OM; OM ') = α y M x= a. c osβ x'= a. c os( α + β ) α ⇒  β y = a.sinβ y' = a.sin( α + β ) O x x x'= a( cosα .cosβ -sinα .sinβ ) x'= x. c osα -y.sinα ⇔  ⇒  ya'=( sinα .cosβ+ c osα .sinβ ) xx'=.sinα+ y.c osα •( Cx) :( +3) 2 + y2 = 9 ( C ) có tâm I ( −3;0) ; bán kính R = 3. 2
3. THPT Nguyễn Hiền Đà Nẵng  ππ  x'=−3.c os -÷ − 0.sin−÷= 0  =⇒22 ⇒ Gọi IQ'π  ( I)  I '( 0;3) 0;− ÷  ππ  2  y'=−3.sin -÷ + 0.c os−÷= 3  22  ⇒ Phương trình đường tròn cần tìm ( C':) x2 +( y −3) 2 = 9 . (Bài tập tự giải ) : r Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ v =(1;− 2) và đường tròn (C) có phương trình: xy2+2 −4x+4 y −1 = 0 1). Viết phương trình ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Oy r 2). Viết phương trình ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến Tv Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình 3x -4y + 1 = 0, đường tròn (C ) có tâm I(1; -2) và đi qua điểm M(1; 0). 1). Viết phương trình đường tròn (C ) . 2). Viết phương trình các đường thẳng (d1) ; (d2) lần lượt là ảnh của (d) qua phép đối xứng trục Ox và phép vị tự tâm I tỉ số k = 2. Viết phương trình đường tròn (C1) , (C2) là ảnh của (C) qua phép đối xứng trục Ox và phép vị tự tâm I tỉ số k = 2. 3). Viết phương trình của đường tròn (C3) là ảnh của đường tròn (C ) qua phép đồng dạng là hợp thành của phép vị tự tâm I tỉ số k = 2 và phép tịnh tiến theo vectơ OB với B(-1;3). Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(3; 0) , B(0; 4) , C(-1; -2). Gọi A'B'C' là ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm I(1; -2) tỉ số 2. Tính chu vi và diện tích của tam giác A'B'C'. Hướng dẫn : Chu vi tam giác A'B'C' bằng 2 lần chu vi tam giác ABC Diện tích tam giác A'B'C' bằng 4 lần diện tích tam giác ABC CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THÔNG THƯỜNG : Bài 1. Cho tam giác đều ABC, tâm O, ba đường cao AA1,BB1,CC1. Hãy tìm xem có những phép biến hình nào biến ∆ABC thành chính nó. Hướng dẫn : Phép đồng nhất - Phép đối xứng trục : DAA 1 ; DBB 1 ; DCC 1 - Phép quay :Q(O,+120O ) ; Q(O,+240O ) Bài 2 : Cho 2 đường tròn (O,R) và (O’,R). Tìm các phép dời hình biến (O) thành (O’) T (O) = (O') Hướng dẫn + oo' + ĐI(O) = (O’) ( I là trung điểm của OO’ + Đd(O) = (O’) ( d là đường trung trực của OO’) Bài 3 Cho hai điểm A,B và đường tròn (O ) không có điểm chung với đường thẳng AB.Qua mỗi điểm M chạy trên (O ) dựng hình bình hành MABN.Chứng minh rằng điểm N thuộc một đường tròn xác định. Hướng dẫn : MN = AB không đổi . Suy ra : Phép tịnh tiến theo AB biến M thành N 3
4. THPT Nguyễn Hiền Đà Nẵng Vì M chạy trên (O ) nên N chạy trên (O’) là ảnh của (O ) qua T AB Bài 4 Cho đường tròn (O,R) đường kính AB.Một đường tròn (O’,R’) tiếp xúc với (O,R) và AB lần lượt tại C và D.Đường thẳng CD cắt (O,R) tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của cung AB. Hướng dẫn : -C là tâm vị tự của (O ) và (O’) R' - D thuộc (O’),I thuộc (O ),C,D,I thẳng hàng nên V (C, ) biến O thành O’,I thành D R -OI song song với O’D nên OI vuông góc với AB -Kết luận: I là trung điểm của cung AB Bài 5 : Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Gọi A', B', C' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. a) Phép vị tự nào biến A thành A’; biến B thành B’; biến C thành C’. b) Chứng minh tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trực tâm của tam giác A',B',C'. 1 c) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh GO = − GH . 2 Hướng dẫn 1 1 a) GA' = − GA ⇒ V ( G; − ): A → A' 2 2 1 Tương tự : V ( G; − ): B → B' , C → C' 2 Kết luận b) Ta có OA' ⊥ BC và BC // B'C' nên OA' ⊥ B'C' Tương tự cm OB' ⊥ A'C' ⇒ đpcm 1 c) Ta có V ( G; − ): ∆ ABC → ∆ A'B'C' 2 1 H là trực tâm tam giác ABC, O là trực tâm tam giác A'B'C' nên V ( G; − ): H → O 2 ⇒ đpcm Bài 6: Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Hãy xác định hai điểm M thuộc (O1) và N thuộc (O2) sao cho A là trung điểm của MN. Hướng dẫn : - Nêu được cách xác định vị trí 2 điểm M và N - Vẽ hình đúng KKKK Bài 7 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) , bán kính khác nhau và tiếp xúc ngoài tại A. Từ A vẽ hai tia AM, AM’ vuông góc với nhau . M ∈(O) , M '∈(O') và A’ là giao điểm thứ hai của (O’) với đường nối tâm OO’. a). Chứng minh rằng AM//A’M’ 4
5. THPT Nguyễn Hiền Đà Nẵng b). Chứng minh đường thẳng MM’ đi qua tâm vị tự của hai đường tròn (O) và (O’) Hướng dẫn a). MA//M’A’ vì MAˆM '= AMˆ ' A'= 900 b). I là giao điểm MM’ và OO’ vì MA//M’A’ (cùng vuông góc với M’A) nên MAˆO = M ' Aˆ'O do đó ∆OMA đồng dạng với ∆O'M ' A' và MOˆA = M 'Oˆ' A'⇒ OM //O'M ' do đó I là tâm vị tự ngoài của hai đường tròn Bài 8 : Cho tam giác ABC, trung điểm M của BC di động trên đường tròn (O;R) cố định. a). Vẽ ảnh tam giác A’B’C’ của tam giác ABC qua phép vị tự tâm A, tỉ số k = 2/3 b). Khi M di động trên (O;R), A cố định, trọng tâm G của tam giác ABC chạy trên đường nào ? Hướng dẫn a) Vẽ đúng, đầy đủ b) Chỉ ra phép vị tự tâm A, tỉ số k = 2/3 biến M thành G Kết luận G chạy trên đường tròn tâm O’, bán kính r = 2/3 R(là ảnh của đường tròn (O;R) qua phép vị tự nói trên Bài 9 : Cho tam giác ABC, dựng ở ngoài tam giác ấy 2 hình vuông ABDE và BCKF. Gọi P là trung điểm của cạnh AC, H là điểm đối xứng của D qua B, M là trung điểm của đoạn FH. a). Xác định ảnh của 2 vectơ AB và BP qua phép quay tâm B, góc 900 b). CMR DF = 2BP và DF vuông góc với BP Hướng dẫn : BA = BH(= BD) a). Ta có   (BA; BH ) = 900 ⇒ 900 ( ) = ⇒ 900 ( ) = QB A H và QB BA BH 900 ( ) = 900 ( ) = 900 ( ) = F Vì QB A H ; QB C F nên QB AC HF b). Vì P là trung điểm của AC nên theo tính chất của phép quay, ta có ảnh của P qua phép quay trênD là trung điểm M của HF K 0 BP = BM Q 90 (BP) = BM ⇒  B BP ⊥ BM E M 1 B BM = BF mà 2 BM // DP A 1 P C BP = DF Do đó, 2 H DF ⊥ BP Bài 10 : Cho hai tam giác đều OAB và OA’B’. Gọi C1 và C2 lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA’ và BB’. 5
6. THPT Nguyễn Hiền Đà Nẵng Chứng minh rằng : ∆OC1C2 đều. Hướng dẫn : A C 1 A’ O B C 2 B’ Xét phép quay Q tâm O với góc quay bằng góc lượng giác α = ( OA; OB ) . Rõ ràng  ( ) = Q( 0;α ) AB  ⇒Q( AA') = BB ' ( ) = ( 0;α ) Q( 0;α ) AB'' ( ) = Do C1 : C2 lần lượt là trung điểm của AA’, BB’ nên Q( 0;α ) CC12 . = OG OC2 ⇒  ⇒ ∆OC C · =· = 0 1 2 đều (đpcm). C1 OC2 AOB 60 Bài 11: Cho tam giác ABC. Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ các hình vuông BCIJ, ACMN, ABEF và gọi O, P, Q lần lượt là tâm đối xứng của chúng. 1/ Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh rằng DOP là tam giác vuông cân đỉnh D. 2/ Chứng minh AO vuông góc với PQ và AO = PQ. Hướng dẫn : − Q 1/ Phép quay (C ,900 ) biến MB thành AI, nên MB bằng và vuông góc với AI. − DP song song và bằng nửa BM, DO song song và bẳng nửa AI. − Suy ra DP bằng và vuông góc với DO − Q 2/ Phép quay (D ,900 ) biến OA thành PQ − Suy ra OA bằng và vuông góc với PQ Bài 12 Cho hai phép quay QA và QB có tâm quay là A và B ( phân biệt ) và có cùng góc quay 0 90 . Gọi F là hợp thành của QA và QB , F' là hợp thành của QB và QA . Hãy chứng tỏ F và F' là những phép đối xứng tâm và nêu rõ cách xác định tâm đối xứng của các phép đó. Hướng dẫn Lấy điểm O sao cho tam giác OAB là tam giác vuông cân với góc (AO,AB) = (BA,BO) = 450 Khi đó, QA là hợp tành của hai phép đối xứng trục ĐAO và ĐAB , còn QB là hợp thành của hai phép đối xứng trục ĐAB và ĐBO . Vậy F là hợp thành của bốn phép đối xứng trục theo thứ tự : ĐAO , ĐAB , ĐAB , ĐBO , tức cũng là hợp thành của hai phép đối xứng trục ĐAO và ĐBO . Vì AO vuông góc với BO nên F là phép quay tâm O góc quay 1800 , tức là phép đối xứng qua điểm O. Chú ý rằng có thể xác định điểm O bởi điều kiện : Tam giác OAB vuông cân và (OB,OA) = 900 6
7. THPT Nguyễn Hiền Đà Nẵng Tương tự , F' là phép đối xứng qua tâm O' , sao cho O'AB là tam giác vuông cân mà (OA,OB) = 900 Bài 13 Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ các hình vuông BCMN và ACPQ có tâm O và O'. a). Chứng minh khi cố định hai điểm A, B và cho điểm C thay đổi thì đường thẳng NQ luôn luôn đi qua một điểm cố định. b). Gọi I là trung điểm AB. Chứng minh rằng IOO' là tam giác vuông cân. Hướng dẫn 0 a) Xét QQA, B lần lượt là các phép quay tâm A, B với góc quay ( AQ, AC) = (BC, BN ) = 90 . Hợp thành của hai phép đó là phép đối xứng qua điểm H xác định . Vì phép đối xứng tâm H biến Q thành N nên H là trung điểm của đoạn thẳng NQ, tức là đường thẳng NQ luôn đi qua điểm H cố định 0 b) Cách 1 : Gọi QQO, O' là các phép quay có góc quay 90 với tâm quay tương ứng là O và O' thì phép hợp thành F của chúng biến B thành A, Nhưng vì F là phép đối xứng tâm , nên tâmđối xứng là trung điểm I của AB. Suy ra tam giác IOO' vuông cân tại đỉnh I Cách 2 : Phép quay tâm C góc quay 900 biến A thành P và biến M thành B. Bởi vậy, ta có AM = PB và AM⊥ PB . Chú ý rằng IO là đường trung bình của tam giác ABM và IO' là đường trung bình của tam giác APB nên suy ra IOO' là tam giác vuông cân Bài 14 : Cho hình bình hành ABCD, hai đỉnh A, B cố định, đỉnh C chạy trên một đường tròn (O). Tìm tập hợp điểm D. T → (C) = D ⇒ T → (O) = O' Hướng dẫn : Nêu được: tồn tại BA BA mà C∈(O) ⇒ D∈(O') Bài 15: Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, AD = a, DC = b, còn hai đỉnh A, B cố định . Gọi I là giao điểm của hai đường chéo. 1. Tìm tập hợp các điểm C khi D thay đổi. 2. Tìm tập hợp các điểm I khi C và D thay đổi. Hướng dẫn : r uuur r 1/ Chọn u= DC , với u cố định. − r Phép tịnh tiến theo u biến D thành C − Kết luận uurAB uuur 2/ − Chứng minh: AI= AC AB+ b − Kết luận Bài 16: Cho đường tròn (O;R). Một điểm A cố định thuộc đường tròn, B và C di động trên đường tròn sao cho góc BAC· = α không đổi (00 < α < 1800), . a). Tìm tập hợp trung điểm M của BC khi α quay quanh điểm A. b). Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác ABC khi α quay quanh điểm A. 7
8. THPT Nguyễn Hiền Đà Nẵng Hướng dẫn : a).Vì α không đổi nên độ dài đoạn không đổi : BC = 2Rsinα . Từ đó ta có: OM= Rcosα A α G O B M C Vậy tập hợp điểm M là đường tròn (O,Rcosα) → → ⇒= 2 V2 ()MG b). Ta có: AG = AM (,)A 3 3 V (O,R cosα) = (O',R) → → Suy ra G ∈ đường tròn ảnh (A, 2) , với AO' = 2 AO,R'= 2 R cosα 3 3 3 Bài 17: Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Gọi C là điểm đối xứng với A qua B và PQ là đường kính thay đổi của (O) khác đường kính AB. Đường thẳng CQ cắt PA và PB lần lượt tại M, N. a). Chứng minh rằng Q là trung điểm của CM, N là trung điểm của CQ. b).Tìm quỹ tích các điểm M, N khi đường kính PQ thay đổi. Hướng dẫn : a) - Chứng minh đúng QB//AP - Từ đó chứng minh được Q là trung điểm của CM - Chứng minh tương tự N là trung điểm của CQ b) = - Tìm ra đúng phép vị tự V(C,2) (Q) (M ) - Lý luận đúng quỹ tích của điểm M - Lý luận tương tự đưa ra đúng quỹ tích của N Bài 18 Cho đường tròn (O) đường kính AB và đường thẳng d vuông góc với AB tại B. Với đường kinh MN thay đổi của đường tròn ( MN khác AB), gọi P và Q lần lượt là giao điểm của d với các đường thẳng AM và AN. Đường thẳng đi qua M, song song với AB cắt đường thẳng AN tại H. 1). Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác MPQ. 2). Chứng minh rằng ABMH là hình bình hành. 3). Tìm quĩ tích điểm H. 4). Tìm quĩ tích trực tâm tam giác NPQ. Hướng dẫn : a) MH⊥ PQ, QH⊥ PM nên H là trực tâm tam giác MPQ b) AB//HM và AH//BM nên ABMH là hình bình hành uuuur uuur uuur c) Từ câu b) có MH= BA . Suy ra : TBA biến M thành H uuur Quỹ tích H là ảnh của (O) qua TBA - trừ hai điểm là ảnh của A và B 8
9. THPT Nguyễn Hiền Đà Nẵng Nếu ta lấy điểm C sao cho A là trung điểm của BC, thì quỹ tích H là đường tròn đường kính AC trừ đi hai điểm A và C. d) Điểm N đóng vai trò hoàn toàn tương tự như điểm M , nên quĩ tích trực tâm của tam giác NPQ cũng trùng với quĩ tích điểm H Bài 19 Cho đường tròn (O) và điểm I không nằm trên đường tròn đó. Với mỗi điểm A thay đổi trên đường tròn , dựng hình vuông ABCD có tâm là I. 1). Tìm quỹ tích điểm C. 2). Tìm quỹ tích mỗi điểm B và D. 3). Khi điểm I trùng với O, có nhận xét gì về ba quỹ tích nói trên ? Hướng dẫn 1) Phép đối xứng tâm ĐI với tâm I biến điểm A thành điểm C . Vậy quĩ tích C là đường tròn ()O1 , ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng đó. π 2) Phép quay Q tâm I góc quay biến điểm A thành điểm B và phép quay Q' tâm I góc 2 π − quay biến điểm A thành điểm D. Suy ra quĩ tích B và D lần lượt là các đường tròn ()O2 , 2 ()O3 : ảnh của đường tròn (O) qua các phép quay Q và Q' 3) Khi I trùng với O thì ()O1 , ()O2 , ()O3 cũng trùng với (O) nên ba quĩ tích nói trên đều là đường tròn (O) Bài 20. Cho hai đường tròn (O) và (O’) bằng nhau và cắt nhau tại A,B. Một cát tuyến di động qua A cắt hai đường tròn đó lần lượt tại P và Q. a). Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn PQ. b). I là trung điểm của đoạn PQ. Tìm tập hợp của điểm M trên PQ sao cho : uuuurk uuur uuur AM=(AP + AQ) , với k ≠ 1 2 c). Tìm tập hợp trọng tâm G của ∆ABI Hướng dẫn a) Lập luận đến ∆PBQ cân tại B Lập luận đến ·AIB = 900 Kết luận, Vẽ hình 1 b) AI = (AP + AQ) Suy ra AM = k AI Kết luận, Vẽ hình 2 1 c) Gọi N là trung điểm của AB Lập luận đến 3 : I → G Kết luận, Vẽ hình V N Bài 21 Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng thay đổi đi qua A cắt (O) ở A và C, cắt (O’) ở A và D. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và AD. a). Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN b). Tìm quỹ tích trung điểm J của đoạn CD. Hướng dẫn OM⊥ MN  a)  ⇒ OM//' O N ⇒ OO' NM là hình thang vuông tại M và N O' N⊥ MN  Gọi K là trung điểm của OO' thì K cố định 9
10. THPT Nguyễn Hiền Đà Nẵng Ta có : · KI⊥ IA⇒ KIA=1 V , mà K và A cố định . Suy ra : Tập hợp điểm I là đường tròn (C ) đường kính AK b) Ta có J là trung điểm của đoạn CD nên có được : uuur uuur uurAC+ AD 1uuur 1 uuur uuuur uuur uur AJ== AC+ AD= AM+ AN= 2AI ( do I là trung điểm của MN ) 222 uur uur Vậy : AJ= 2AI ⇒ J là ảnh của I qua phép vị tự tâm A tỉ số 2 Mà I chạy trên đường tròn ( C ) Do đó : Tập hợp J là đường tròn (C ') , với (C') là ảnh của (C ) qua phép vị tự tam A tỉ số 2 Bài 22 Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm trong đường tròn đó. Một đường thẳng thay uuuur uuur uuur đổi qua P, cắt (O) tại hai điểm A và B. Tìm quỹ tích điểm M sao cho PM= PA+ PB Hướng dẫn uuur uuur uur PA+ PB uuuur uuur uuur uur Gọi I là trung điểm của AB thì PI = bởi vậy PM= PA+ PB= 2 PI 2 Gọi V là phép vị tự tâm P tỉ số k = 2 thì V biến điểm I thành điểm M Vì I là trung điểm của AB nên OI⊥ AB suy ra quĩ tích của điểm I là đường tròn (C) đường kính PO Vậy quĩ tích của điểm M là đường tròn (C') ảnh của (C) qua phép vị tự V. Nếu ta lấy O' sao uuuur uuur cho PO'= 2 PO thì (C') là đường tròn đường kính PO'. Bài 23 Cho điểm A cố định nằm trên đường tròn (O) và điểm C thay đổi trên đường tròn đó.Dựng hình vuông ABCD. Tìm quỹ tích điểm B và điểm D. Hướng dẫn Trên đoạn thẳng AC lấy điểm M sao cho : AM = AB = AD AM AB 2 Khi đó, ta có == AC AC 2 Ngoài ra (AM, AB) = 450 và (AM, AD) = - 450 2 Suy ra, phép vị tự V tâm A tỉ số k = biến điểm C thành điểm M và phép quay Q tâm A 2 góc quay 450 biến điểm M thành điểm B. Vậy nếu gọi F là phép hợp thành của V và Q thì F biến C thành B. Vì quĩ tích của C là đường tròn (O) nên quĩ tích của B là ảnh của đường tròn đó qua phép đồng dạng F. Đường tròn quỹ tích của B có thể xác định như sau : Gọi AR là đường kính của (O) và PQ là đường kính của (O) vuông góc với AR ( ta kí hiệu các điểm P, Q sao cho (AR,AP) = 450 ). Khi đó dễ thấy rằng phép đồng dạng F biến AR thành AP. Vậy quỹ tích B là đường tròn đường kính AP. Tương tự , ta được quỹ tích D là đường tròn đường kính AQ. Bài 24 Cho hình vuông ABCD và một điểm M nằm trên một cạnh của hình vuông. Tìm các điểm N, P nằm trên cạnh của hình vuông sao cho tam giác MNP là tam giác đều. 10
11. THPT Nguyễn Hiền Đà Nẵng Hướng dẫn Giả sử đã dựng được tam giác đều MNP thỏa mãn điều kiện của bài toán. Nếu dùng phép quay Q tâm M góc quay 600 thì N biến thành P và hình vuông ABCD biến thành hình vuông A'B'C'D' mà P cũng nằm trên hình vuông này. Từ đó suy ra cách dựng. Bài 25 Cho đường tròn (O) với dây cung PQ. Dựng hình vuông ABCD có hai đỉnh A, B nằm trên đường thẳng PQ và hai đỉnh C, D nằm trên đường tròn. Hướng dẫn Giả sử đã dựng được hình vuông ABCD thỏa mãn điều kiện của bài toán . Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng PQ thì OI là đường trung trực của PQ nên cũng là đường trung trực của DC và do đó cũng là đường trung trực của AB. Từ đó suy ra, nếu dựng hình vuông PQMN thì có phép vị tự tâm I biến hình vuông PQMN thành hình vuông ABCD. Cách dựng Dựng hình vuông PQMN . Lấy giao điểm C và C' của đường thẳng IM và đường tròn , lấy giao điểm D và D' của IN và đường tròn( ta kí hiệu sao cho hai điểm C,D nằm về một phía đối với đường thẳng PQ). Gọi các điểm B,A,B',A' lần lượt là hình chiếu của các điểm C,D,C',D' trên đường thẳng PQ. Ta được các hình vuông ABCD và A'B'C'D' thỏa mãn điều kiện của bài toán. Bài 26 Cho điểm A cố định nằm trên đường tròn (O) và điểm B cố định nằm trên đường thẳng d, d không đi qua A.Hãy xác định trên d một điểm C sao cho tam giác ABC có trọng tâm nằm trên (O) . Hướng dẫn Giả sử đã dựng được tam giác ABC với trọng tâm G thuộc (O). Gọi I là trung điểm của BC uuur2 uur = V 2 thì AG AI . Như vậy , phép vị tự (,)A sẽ biến I thành G và biến đường thẳng d thành 3 3 đường thẳng d' đi qua G. Vậy G là giao điểm của (O) và d' suy ra cách dựng : 2 Dựng đường thẳng d' là ảnh của d qua phép vị tự tâm A, tỉ số 3 Lấy G là giao điểm của (O) và d' Lấy I là giao điểm của đường thẳng AG và d Xác định điểm C sao cho I là trung điểm của BC * Số nghiệm hình là số giao điểm G của (O) và d' mà đường thẳng AG không đi qua B. Hết 11