Đề ôn tập kiểm tra cuối kỳ 2 Toán Lớp 11 - Đề 20 (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Đề ôn tập kiểm tra cuối kỳ 2 Toán Lớp 11 - Đề 20 (Có lời giải chi tiết)

1. Đề: ⑳ Đề ôn tập kiểm tra cuối kỳ 2. Môn Toán Lớp 11 File word Full lời giải chi tiết Câu 1: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây: 1 5 Ⓐ . Cấp số nhân: 2; 2,3; 2,9; có u6 2 . 3 6 Ⓑ. Cấp số nhân: 2; 6; 18; có u6 2. 3 . Ⓒ. Cấp số nhân: 1; 2; 2; có u6 2 2 . Ⓓ. Cấp số nhân: 1; 2; 2; có u6 4 2 . u 2 1 Câu 2: Cho dãy số un xác định bởi: 1 . Chọn hệ thức đúng: u .u n 1 10 n 1 1 Ⓐ. u là cấp số nhân có công bội q .Ⓑ. u ( 2) . n 10 n 10n 1 u u Ⓒ. u n 1 n 1 n 2 .Ⓓ. u u .u n 2 . n 2 n n 1 n 1 2 96 Câu 3: Cho cấp số nhân có u 3, q . Số là số hạng thứ mấy của cấp số này? 1 3 243 Ⓐ. Thứ 5.Ⓑ. Thứ 6. Ⓒ. Thứ 7.Ⓓ. Không phải là số hạng của cấp số. 1 Câu 4: Cho cấp số nhân u với u 3; q . Số 222 là số hạng thứ mấy của u ? n 1 2 n Ⓐ. Số hạng thứ 11.Ⓑ. Số hạng thứ 12. Ⓒ. Số hạng thứ 9.Ⓓ. Không là số hạng của cấp số đã cho. u4 u6 540 Câu 5: Cho cấp số nhân un có . Tính S21 . u3 u5 180 1 1 Ⓐ 21 Ⓑ 21 Ⓒ 21 Ⓓ 21 . S21 3 1 . . S21 3 1. . S21 1 3 . . S21 3 1 . 2 2 Câu 6: Các số x 6y , 5x 2y , 8x y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, đồng thời, các số 5 x , y 1, 2x 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x và y . 3 3 1 3 1 Ⓐ. x 3, y 1 hoặc x , y .Ⓑ. x 3, y 1 hoặc x , y . 8 8 8 8 Ⓒ. x 24, y 8 hoặc x 3, y 1.Ⓓ. x 24, y 8 hoặc x 3, y 1. 2 5n 2 Câu 7: Kết quả đúng của lim n n là: 3 2.5 5 1 5 25 Ⓐ. .Ⓑ. .Ⓒ. .Ⓓ. . 2 50 2 2 Câu 8: Tính giới hạn I lim n2 2n 3 n . Ⓐ. I 1.Ⓑ. I 1.Ⓒ. I 0 .Ⓓ. I . 1 1 1 Câu 9: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: 5 3 1 là: 2 4 8
2. 15 25 Ⓐ. 10.Ⓑ. .Ⓒ. .Ⓓ. 5 . 2 2 Câu 10: Trong một giờ giải lao, An ngồi vẽ trên giấy một hình vuông ABCD có cạnh bằng a cm . Lần thứ hai An vẽ tiếp hình vuông AB1C1D1 với B1,C1, D1 lần lượt là trung điểm của AB , AC , AD . Lần thứ ba là hình vuông AB2C2 D2 với B2 ,C2 , D2 lần lượt là trung điểm của AB1, AC1, AD1 . Đến đây bỗng dưng An nghĩ ra một bài toán là: Đố các bạn nếu cứ tiếp tục công việc như trên đến vô hạn lần thì tổng diện tích của tất cả các hình vuông thu được là bao nhiêu? 4 4 3 3 Ⓐ. a2 cm2 .Ⓑ. cm2 .Ⓒ. a2 cm2 .Ⓓ. cm2 . 3 3 4 4 Câu 11: Cho k nguyên dương, trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai? 1 1 Ⓐ. lim xk .Ⓑ. lim xk .Ⓒ. lim 0 .Ⓓ. lim 0 . x x x xk x xk Câu 12: lim 3x4 4x3 2x2 1 bằng: x Ⓐ. .Ⓑ. 1.Ⓒ. 3.Ⓓ. . 3x 1 Câu 13: Tính lim : x 2 x 2 Ⓐ. .Ⓑ. .Ⓒ. 0 .Ⓓ. 2 . x2 3x 2 Câu 14: lim bằng : x 2 2x 4 1 1 3 Ⓐ. .Ⓑ. .Ⓒ. .Ⓓ. . 2 2 2 Câu 15: Tìm tất cả các giá trị của a để lim 2x2 1 ax là . x Ⓐ. a 2 .Ⓑ. a 2 .Ⓒ. a 2 .Ⓓ. a 2 a b b a Câu 16: Biết rằng a b 4 và lim 3 hữu hạn. Tính giới hạn L lim 3 . x 1 1 x 1 x x 1 1 x 1 x Ⓐ. 1.Ⓑ. 2 .Ⓒ. 1.Ⓓ. 2 . 1 Câu 17: Hàm số f x 3 x liên tục trên: x 4 Ⓐ.  4;3 .Ⓑ.  4;3 .Ⓒ. 4;3.Ⓓ.  ; 43; . x 1 khi x 1 Câu 18: Xét tính liên tục của hàm số f x 2 x 1 . Khẳng định nào dưới đây đúng? 2x khi x 1 Ⓐ. f x không liên tục trên ¡ .Ⓑ. f x không liên tục trên 0;2 . Ⓒ. f x gián đoạn tại x 1.Ⓓ. f x liên tục trên ¡ . x2 x 2 khi x 2 Câu 19: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f x x 2 liên tục tại x 2 . m khi x 2 Ⓐ. m 0 .Ⓑ. m 1.Ⓒ. m 2 .Ⓓ. m 3 .
3. x2 5x 6 khi x 3 Câu 20: Tìm giá trị nhỏ nhất của a để hàm số f x 4x 3 x liên tục tại x 3. 2 1 a x khi x 3 2 2 4 4 Ⓐ. .Ⓑ. .Ⓒ. .Ⓓ. . 3 3 3 3 Câu 21: Cho hàm số y f x có đạo hàm tại x0 là f x0 . Mệnh đề nào sau đây sai? f x f x0 f x0 x f x0 Ⓐ. f x0 lim .Ⓑ. f x0 lim . x x x 0 0 x x0 x f x0 h f x0 f x x0 f x0 Ⓒ. f x0 lim .Ⓓ. f x0 lim . h 0 x x h 0 x x0 1 Câu 22: Cho hàm số f x x3 2 2x2 8x 1, có đạo hàm là f x . Tập hợp những giá trị của x 3 để f x 0 là: Ⓐ. 2 2.Ⓑ. 2; 2 .Ⓒ. 4 2.Ⓓ. 2 2. 5 Câu 23: Tính đạo hàm của hàm số y 1 x3 . 4 4 Ⓐ. y 5x2 1 x3 .Ⓑ. y 15x2 1 x3 . 4 4 Ⓒ. y 3x2 1 x3 .Ⓓ. y 5x2 1 x3 . 2x 5 Câu 24: Tính đạo hàm của hàm số y . x2 3x 3 2x2 10x 9 2x2 10x 9 Ⓐ Ⓑ . y ' 2 . . y ' 2 . x2 3x 3 x2 3x 3 x2 2x 9 2x2 5x 9 Ⓒ Ⓓ . y ' 2 . . y ' 2 . x2 3x 3 x2 3x 3 Câu 25: Cho hàm số y x2 1. Xét hai quan hệ: 2 y.y 2x 1 , y .y y 2 . Quan hệ nào đúng: Ⓐ. Chỉ 1 .Ⓑ. Chỉ 2 .Ⓒ. Cả hai đều đúng.Ⓓ. Cả hai đều sai. 4 Câu 26: Xét hàm số y cos 2x . Phương trình f x 8 có nghiệm x 0; là : 3 2 Ⓐ. x .Ⓑ. x 0, x .Ⓒ. x 0, x .Ⓓ. x 0, x . 2 6 3 2 Câu 27: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S t3 3t 2 9t , trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu. Ⓐ. v 6 m / s .Ⓑ. v 12 m / s .Ⓒ. v 12 m / s .Ⓓ. v 6 m / s . Câu 28: Cho hàm số y x3 3x2 6x 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hoành độ tiếp điểm bằng 1 Ⓐ. y 3x 6 .Ⓑ. y 3x 7 .Ⓒ. y 3x 4 .Ⓓ. y 3x 5
4. 2 a a 2 Hình vuông thứ ba có cạnh cm và diện tích S3 cm . 4 16 Tương tự ta có diện tích của hình vuông thứ n là Sn . Do đó a2 a2 S S S S a2 1 2 3 4 16 1 Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có S a2 và q . 1 4 a2 4a2 Vậy S . 1 1 3 4 Câu 11: Cho k nguyên dương, trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai? 1 1 A. lim xk . B. lim xk . C. lim 0 . D. lim 0 . x x x xk x xk Lời giải Còn phải phụ thuộc vào k chắn hay k lẻ. Câu 12: lim 3x4 4x3 2x2 1 bằng: x A. . B. 1. C. 3. D. . Lời giải 4 3 2 4 4 2 1 Ta có lim 3x 4x 2x 1 lim x 3 2 4 . x x x x x 4 4 2 1 Vì lim x và lim 3 2 4 3 0. x x x x x 3x 1 Câu 13: Tính lim : x 2 x 2 A. . B. . C. 0 . D. 2 . Lời giải Ta có lim 3x 1 7 0 , lim x 2 0 và x 2 0,x 2 . x 2 x 2 3x 1 Vậy lim . x 2 x 2 x2 3x 2 Câu 14: lim bằng : x 2 2x 4 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 Lời giải x2 3x 2 x 2 x 1 x 1 1 Ta có lim lim lim . x 2 2x 4 x 2 2 x 2 x 2 2 2 Câu 15: Tìm tất cả các giá trị của a để lim 2x2 1 ax là . x A. a 2 . B. a 2 . C. a 2 . D. a 2
5. Lời giải Giải nhanh: x  2x2 1 ax : 2x2 x . 2x ax a 2 x a 2 0 a 2 . 1 Cụ thể: vì lim x nên lim 2x2 1 ax lim x 2 a . x x x 2 x 1 lim 2 a a 2 0 a 2 . x 2 x a b b a Câu 16: Biết rằng a b 4 và lim 3 hữu hạn. Tính giới hạn L lim 3 . x 1 1 x 1 x x 1 1 x 1 x A. 1. B. 2 . C. 1. D. 2 . Lời giải a b a ax ax2 b a ax ax2 b Ta có lim 3 lim 3 lim . x 1 1 x 1 x x 1 1 x x 1 1 x 1 x x2 a b 2 Khi đó lim 3 hữu hạn 1 a.1 a.1 b 0 2a b 1. x 1 1 x 1 x a b 4 a 1 a b Vậy ta có L lim 3 2a b 1 b 3 x 1 1 x 1 x x2 x 2 x 2 lim lim 1. x 1 1 x 1 x x2 x 1 1 x x2 1 Câu 17: Hàm số f x 3 x liên tục trên: x 4 A.  4;3 . B.  4;3 . C. 4;3. D.  ; 43; . Lời giải 3 x 0 x 4 TXD Điều kiện:  D 4;3  hàm số liên tục trên 4;3 . Xét x 4 0 x 3 1 1 tại x 3, ta có lim f x lim 3 x f 3  Hàm số liên tục trái tại x 3 x 3 x 4 7 x 3. Vậy hàm số liên tục trên 4;3. x 1 khi x 1 Câu 18: Xét tính liên tục của hàm số f x 2 x 1 . Khẳng định nào dưới đây đúng? 2x khi x 1 A. f x không liên tục trên ¡ . B. f x không liên tục trên 0;2 . C. f x gián đoạn tại x 1. D. f x liên tục trên ¡ . Lời giải
6. Dễ thấy hàm số liên tục trên ;1 và 1; . Xét tại x 1 f 1 2 Ta có lim f x lim 2x 2 f x liên tục tại x 1. x 1 x 1 x 1 lim f x lim lim 2 x 1 2 x 1 x 1 2 x 1 x 1 Vậy hàm số f x liên tục trên ¡ . x2 x 2 khi x 2 Câu 19: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f x x 2 liên tục tại x 2 . m khi x 2 A. m 0 . B. m 1. C. m 2 . D. m 3 . Lời giải Tập xác định: D ¡ , chứa x 2 . Theo giả thiết thì ta phải có x2 x 2 m f 2 lim f x lim lim x 1 3 . x 2 x 2 x 2 x 2 x2 5x 6 khi x 3 Câu 20: Tìm giá trị nhỏ nhất của a để hàm số f x 4x 3 x liên tục tại x 3. 2 1 a x khi x 3 2 2 4 4 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Điều kiện bài toán trở thành: lim f x lim f x f 3 (*) x 3 x 3 f 3 1 3a2 x2 5x 6 x 2 4x 3 x Ta có lim f x lim lim 3 . x 3 x 3 4x 3 x x 3 1 x lim f x lim 1 a2 x 1 3a2 x 3 x 3 2 2 * a  a . 3 min 3 Câu 21: Cho hàm số y f x có đạo hàm tại x0 là f x0 . Mệnh đề nào sau đây sai? f x f x0 f x0 x f x0 A. f x0 lim . B. f x0 lim . x x x 0 0 x x0 x f x0 h f x0 f x x0 f x0 C. f x0 lim . D. f x0 lim . h 0 x x h 0 x x0 Lời giải f x f x0 Hàm số y f x có đạo hàm tại x0 là f x0 f x0 lim . x x 0 x x0
7. f x0 x f x0 f x0 h f x0 Đặt h x x x0 f x0 lim lim . x 0 x h 0 h 1 Câu 22: Cho hàm số f x x3 2 2x2 8x 1, có đạo hàm là f x . Tập hợp những giá trị của x 3 để f x 0 là: A. 2 2. B. 2; 2 . C. 4 2. D. 2 2. Lời giải Ta có: f x x2 4 2x 8 . Phương trình f x 0 x2 4 2x 8 0 x 2 2 . 5 Câu 23: Tính đạo hàm của hàm số y 1 x3 . 4 4 A. y 5x2 1 x3 . B. y 15x2 1 x3 . 4 4 C. y 3x2 1 x3 . D. y 5x2 1 x3 . Lời giải 4 4 4 Ta có: y 5 1 x3 1 x3 5 3x2 1 x3 15x2 1 x3 . 2x 5 Câu 24: Tính đạo hàm của hàm số y . x2 3x 3 2x2 10x 9 2x2 10x 9 A. y ' 2 . B. y ' 2 . x2 3x 3 x2 3x 3 x2 2x 9 2x2 5x 9 C. y ' 2 . D. y ' 2 . x2 3x 3 x2 3x 3 Lời giải 2x 5 x2 3x 3 2x 5 x2 3x 3 Ta có y 2 x2 3x 3 2 2 x 3x 3 2x 5 2x 3 2x2 10x 9 2 2 . x2 3x 3 x2 3x 3 2 2 Câu 25: Cho hàm số y x 1. Xét hai quan hệ: y.y 2x 1 , y .y y 2 . Quan hệ nào đúng: A. Chỉ 1 . B. Chỉ 2 . C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai. Lời giải x 1 y , y x2 1 x2 1 x2 1 x Xét y.y x2 1. x 1 sai x2 1
8. 1 1 Xét y2.y x2 1 . y 2 sai. x2 1 x2 1 x2 1 4 Câu 26: Xét hàm số y cos 2x . Phương trình f x 8 có nghiệm x 0; là : 3 2 A. x . B. x 0, x . C. x 0, x . D. x 0, x . 2 6 3 2 Lời giải f x 2sin 2x , f x 4cos 2x , f x 8sin 2x , 3 3 3 (4) f x 16cos 2x . Do đó 3 2 2x k2 x k (4) 1 3 3 2 f x 8 cos 2x . 3 2 2 2x k2 x k 3 3 6 Mà x 0; nên chỉ có giá trị x thoả mãn. 2 2 Câu 27: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S t3 3t 2 9t , trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu. A. v 6 m / s . B. v 12 m / s . C. v 12 m / s . D. v 6 m / s . Lời giải Ta có vận tốc tức thời v t S t 3t 2 6t 9 và gia tốc a t v t 6t 6 . Tại thời điểm gia tốc triệt tiêu nên a t 6t 6 0 t 1. Vậy vận tốc cần tìm là: 3.12 6.1 9 6 m / s . Câu 28: Cho hàm số y x3 3x2 6x 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hoành độ tiếp điểm bằng 1 A. y 3x 6 . B. y 3x 7 . C. y 3x 4 . D. y 3x 5 Lời giải Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm Ta có: y ' 3x2 6x 6 . Ta có: x0 1 y0 1, y '(1) 3 Phương trình tiếp tuyến là: y y '(x0 )(x x0 ) y0 3(x 1) 1 3x 4. Câu 29: Cho hàm số y x3 3x2 6x 1. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị biết tung độ tiếp điểm bằng 9 y 18x 81 y x 81 y 18x 1 y x 81 A. y 9x . B. y 9x . C. y 9x . D. y 9x y 18x 27 y 9x 2 y 9x 7 y 9x 2
9. Lời giải Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm Ta có: y ' 3x2 6x 6 . 3 2 Ta có: y0 9 x0 3x0 6x0 8 0 x0 1, x0 2, x0 4 . x0 4 y '( 4) 18 . Phương trình tiếp tuyến là: y 18(x 4) 9 18x 81 x0 1 y '( 1) 9 . Phương trình tiếp tuyến là: y 9(x 1) 9 9x x0 2 y '(2) 18 . Phương trình tiếp tuyến là: y 18(x 2) 9 18x 27 . Câu 30: Cho hàm số y x3 3x2 có đồ thị C . Có bao nhiêu tiếp tuyến của C song song đường thẳng y 9x 10? A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. Lời giải Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm Ta có y 3x2 6x. 2 2 xo 3 k 9 3xo 6xo 9 0 xo 2xo 3 0 . xo 1 Với x0 3 y0 0, tiếp tuyến là y 9 x 3 9x 27 Với x0 1 y0 4 , tiếp tuyến là y 9 x 1 4 9x 5 Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 31: Cho hàm số y 3x 4x3 có đồ thị C . Từ điểm M 1;3 có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị C của hàm số ? A. 0. B. 3. C. 2. D. 1. Lời giải Đường thẳng đi qua M 1;3 có hệ số góc k có dạng d : y k x 1 3. 3 3x 4x k x 1 3 1 d là tiếp tuyến của khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: . Khử k ta 2 3 12x k 2 được x 0 3x 4x3 3 12x2 x 1 3 8x3 12x2 0 3 . x 2 Với x 0 k 3, tiếp tuyến là y 3 x 1 3 3x 3 Với x k 24 , tiếp tuyến là y 24 x 1 3 24x 27 . 0 2
10. 2x Câu 32: Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số y , biết tiếp tuyến của đồ thị tại M cắt hai x 1 1 trục Ox,Oy tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng . 4 1 1 A. M1 1;1 , M 2 ; 2 . B. M1 1;1 , M 2 ; 2 . 2 2 1 1 C. M1 1; 1 , M 2 ; 2 . D. M1 1;1 , M 2 ;2 . 2 2 Lời giải 2a 2 2 Gọi M a; a 1 . Ta có y ' 2 k y ' a 2 . a 1 x 1 a 1 2 2a PTTT của đồ thị tại M là d : y x a ; a 1 2 a 1 2a2 d Ox A a2 ;0 ,d Oy B 0; 2 a 1 a 1 M 1;1 1 1 4 2 S OA.OB 4a a 1 OAB 1 1 4 2 a M ; 2 2 2 Câu 33: Tính đạo hàm của hàm số y x3 – 9x2 12 x , với x 0 . 6 6 A. y 3x2 – 18x . B. y 3x2 + 18x . x x 6 12 C. y 3x2 – 18x . D. y 3x2 – 18x . x x Lời giải 1 6 Ta có y 3x2 –18x 12. 3x2 –18x 2 x x Câu 34: Cho hàm số f x sin x 2x . Khi đó f bằng 2 2 1 3 1 A. . B. . C. . D. . 1 1 2 2 1 Lời giải sin x 2x cos x 2 Ta có f x sin x 2x f x 2 sin x 2x 2 sin x 2x cos 2 2 1 f . 2 1 2 sin 2 2 2 Câu 35: Tính đạo hàm của hàm số y x 2 x2 3.
11. x2 x 3 x2 2x 3 A. y . B. y . x2 3 x2 3 2x2 2x 3 2x2 x 3 C. y . D. y . x2 3 x2 3 Lời giải 2x2 2x 3 Ta có y x 2 x2 3 x 2 x2 3 . x2 3 Câu 36: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. Nếu P  và a  , b   thì a P b . B. Nếu a P và b P  thì a P b . C. Nếu P  và a  thì a P  . D. Nếu a P b và a  , b   thì P  . Lời giải Câu 37: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và SBC là đường thẳng song song với đường thẳng nào dưới đây? A. AC . B. BD . C. AD . D. SC . Lời giải S x A D B C SAD  SBC S Ta có AD  SAD , BC  SBC . Nên SAD  SBC Sx P AD P BC . AD P BC Câu 38: Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Gọi O là tâm của hình lập phương. Khẳng định nào dưới đây là đúng?  1     1    A. AO AB AD AA . B. AO AB AD AA . 3 2  1     2    C. AO AB AD AA . D. AO AB AD AA . 4 3 Lời giải
12.     Theo quy tắc hình hộp, ta có AC AB AD AA .  1  1    Mà O là trung điểm của AC suy ra AO AC AB AD AA . 2 2 Câu 39: Cho tứ diện ABCD . Gọi G là trọng tâm tam giác BCD . Điểm M xác định bởi đẳng thức     vectơ AM AB AC AD . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M trùng G . B. M thuộc tia AG và AM 3AG . C. G là trung điểm AM . D. M là trung điểm AG . Lời giải     Do G là trọng tâm tam giác BCD nên AB AC AD 3AG .   Kết hợp giả thiết, suy ra AM 3AG . Câu 40: Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng P , trong đó a  P . Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Nếu b  P thì b//a . B. Nếu b// P thì b  a . C. Nếu b//a thìb  P . D. Nếu b  a thì b// P . Lời giải Vì b có thể nằm trong mặt phẳng P . Câu 41: Cho hình lập phương ABCD.A B C D , có cạnh a . Hãy tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:        A. AD '.CC ' a2 . B. AD '.AB ' a2 . C. AB '.CD ' 0 . D. AC a 3 Lời giải       Xét phương án A có: AD '.CC ' AD '.AA' AD ' . AA' cos 450 a2 .
13. Câu 42: Cho tứ diện ABCD có AC BD 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm BC, AD . Biết rằng MN a 3. Tính góc của AC và BD . A. 450 . B. 300 . C. 600 . D. 900 . Lời giải Gọi I là trung điểm của AB . Ta có IM IN a . Áp dụng định lý cosin cho IMN ta có: IM 2 IN 2 MN 2 a2 a2 3a2 1 cos M· IN M· IN 1200 . 2.IM.IN 2.a.a 2 Vì IM //AC, IN //BD ·AC, BD ·IM , IN 1800 1200 600 . Câu 43: Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong . B. Nếu đường thẳng d  thì d vuông góc với hai đường thẳng trong . C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong thì d  . D. Nếu d  và đường thẳng a P thì d  a . Lời giải a b c Mệnh đề ở đáp án C sai vì thiếu điều kiện ''cắt nhau '' của hai đường thẳng nằm trong . Ví dụ: đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng b và c nằm trong nhưng b và c song song với nhau thì khi đó a chưa chắc vuông góc với . Câu 44: Cho tứ diện đều ABCD . Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng A. 30 . B. 45. C. 60 . D. 90 . Lời giải
14. A B D H E C Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD AH  BCD . Gọi E là trung điểm CD BE  CD . Do AH  BCD AH  CD . CD  BE · Ta có: CD  ABE CD  AB AB,CD 90. CD  AH Câu 45: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O . Cạnh bên SA 2a và vuông góc với mặt đáy ABCD . Gọi là góc giữa SO và mặt phẳng ABCD . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. tan 2 2 . B. 600 . C. tan 2 . D. 450 . Lời giải Vì SA  ABCD nên hình chiếu vuông góc của SO trên mặt đáy ABCD là AO . Do đó ·SO, ABCD ·SO,OA S· OA. SA 2a Trong tam giác vuông SAO , ta có tan S· OA 2 2 . OA a 2 2 Vậy SO hợp với mặt đáy ABCD một góc nhọn thỏa mãn tan 2 2 . Câu 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD . Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD là: A. S· BC . B. S· BA. C. S· CD . D. S· CB . Lời giải
15. Ta có SA  ABCD BC  SA, mà BC  AB Nên BC  SAB BC  SB Do BC  AB và SBC  ABCD BC . Vậy · SBC , ABCD S· BA. Câu 47: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Cạnh bên SA a 3 và vuông góc với mặt đáy ABC . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC . Mệnh đề nào sau đây đúng? 5 2 5 A. 300 . B. sin . C. 600 . D. sin . 5 5 Lời giải S A C M B Gọi M là trung điểm của BC , suy ra AM  BC . AM  BC Ta có BC  SAM BC  SM . BC  SA Do đó ·SBC , ABC ·SM , AM S· MA. a 3 Tam giác ABC đều cạnh a , suy ra AM . 2 SA SA 2 5 Tam giác vuông SAM , có sin S· MA . SM SA2 AM 2 5 Câu 48: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, tam giác SAB đều, SC SD a 3 . Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SA, SB . M là một điểm trên cạnh AD ,
16. mặt phẳng HKM cắt BC tại N . Đặt AM x (0 x a) . Giá trị x để diện tích thiết diện HKMN đạt giá trị nhỏ nhất là: a 3a A. x 0 . B. x . C. x . D. x a 2 4 Lời giải S H K A M D C B N Mặt phẳng (HKM ) và (ABCD) lần lượt chứa hai đường thẳng song song HK và AB nên giao tuyến của chúng là MN cũng song song với HK và AB . Xét hai tam giác HAM và KBN có: BN AM ; BK AH ; K· BN H· AM nên HAM KBN . a Từ đó suy ra: MH KN . Do đó MHKN là hình thang cân có hai đáy MN a; HK . 2 1 Sử dụng định lý hàm số cos cho tam giác SAD ta tính được cosH· AD . 2 2 2 2 2 2 2 1 a 2 a 1 a 4x 2ax Ta có: HM HA AM 2HA.AM. x 2. .x. = . 2 4 2 2 4 Đường cao của hình thang cân được tính bằng công thức: 2 2 MN HK 1 2 2 HM = 16x 8ax 3a . Do hai đáy có độ dài không đổi nên diện tích 2 2 thiết diện bé nhất khi đường cao bé nhất đạt khi x 0 . Câu 49: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng SCD . a 21 a 3 a 3 A. h . B. h a . C. h . D. h . 7 4 7 Lời giải
17. SAB  ABCD Gọi H là trung điểm AB , ta có: SAB  ABCD AB SH  ABCD SH  AB, SH  SAB d A, SCD d H, SCD Gọi E là trung điểm CD , kẻ HI  SE, I SE thì d H, SCD HI . a 3 .a SH.HE a 21 Tam giác SHE vuông tại H : HI 2 . SH 2 HE 2 3a2 7 a2 4 a 21 Vậy: d A, SCD . 7 Câu 50: Cho hình lăng trụ ABC.A B C có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB 2a . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 . Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau AC và BB bằng: 15 2 15 2 21 39 A. a .B. a . C. a . D. a . 5 5 7 13 Lời giải Ta có: AH là hình chiếu vuông góc của AA lên ABC nên: ·AA , ABC ·AA , AH 600 . a 3 Khi đó: A H a 3; BI a 3; HM , với I là trung điểm của AC và M là trung 2 điểm của IA . Kẻ HK  A M . Ta có: HK  ACC A d H, ACC A HK
18. A H.HM 15 Xét tam giác A HM vuông tại H có: HK a A H 2 HM 2 5 d H, ACC A HA 1 2 15 Mặt khác: d B, ACC A 2HK a d B, ACC A BA 2 5 Chọn AC  ACC A và có BB // ACC A . 2 15 nên: d AC, BB d BB , ACC A d B, ACC A a . 5