Kiểm tra học kì 2 môn Toán Lớp 11 - Đề 5 (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Kiểm tra học kì 2 môn Toán Lớp 11 - Đề 5 (Có lời giải chi tiết)

1. KIỂM TRA HỌC KỲ II Môn: TOÁN - Lớp 11 - Chương trình chuẩn ĐỀ SỐ 5 Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Mã đề thi Họ và tên thí sinh: SBD: PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. Cho hàm số f x cot 2x . Giá trị f bằng 4 2 2 A. . B. . C. 2 . D. 2 . 3 3 Câu 2. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. Trong không gian, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. B. Nếu một mặt phẳng và đường thẳng không nằm trong mặt phẳng ấy cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau. C. Nếu mặt phẳng và đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau. D. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. Câu 3. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên K và có đồ thị là đường cong C . Viết phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M a; f a , a K . A. y f a x a f a . B. y f a x a f a . C. y f a x a f a . D. y f a x a f a . x3 2x2 1 Câu 4. Tính lim . x 1 2x5 1 1 1 A. . B. 2 . C. 2 . D. . 2 2 x4 5x3 Câu 5. Đạo hàm của hàm số y 2x a2 ( a là hằng số) bằng 2 3 1 1 A. 2x3 5x2 2a . B. 2x3 5x2 . 2x 2 2x 1 C. 2x3 5x2 . D. 2x3 5x2 2 . 2x Câu 6. Hàm số y sin 4x có đạo hàm là 3 A. y cos 4x . B. y 4cos 4x . 3 3 C. y 4cos 4x . D. y cos 4x . 3 3 Câu 7. Tính đạo hàm của hàm số () = − + 4 − 3 + 2 + 1 tại điểm = −1. A. ′(−1) = 14. B. ′(−1) = 15. C. ′(−1) = 24. D. ′(−1) = 4. Trang 1
2. Câu 8. Tìm vi phân của hàm số y sin 3x . 6 A. dy 3cos 3x dx . B. dy 3cos 3x dx . 6 6 C. dy cos 3x dx . D. dy 3sin 3x dx . 6 6 Câu 9. Cho một hàm số f x . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Nếu phương trình f x 0 có nghiệm trong khoảng a; b thì hàm số f x phải liên tục trên khoảng a; b . B. Nếu hàm số f x liên tục, tăng trên đoạn a; b và f a. f b 0 thì phương trình f x 0 không   có ngiệm trong khoảng a; b . C. Nếu f x liên tục trên đoạn a; b và f a. f b 0 thì phương trình f x 0 không có nghiệm   trên khoảng a; b . D. Nếu f a. f b 0 thì phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng a; b . Câu 10. lim bằng A. +∞. B. 1. C. . D. 2. Câu 11. Cho hình chóp S. ABC , đáy là tam giác ABC trọng tâm G , M là trung điểm của BC . Hình chiếu của S lên ABC là I . Tính khoảng cách từ S đến ABC . A. SI . B. SG . C. SA D. SM . Câu 12. Cho hình lập phương . ′′′′, thực hiện phép toán: ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗′ A. ⃗ = ⃗′. B. ⃗ = ⃗′. C. ⃗ = ⃗. D. ⃗ = ⃗′. Câu 13. Tính lim 1 3x x3 bằng x A. 1. B. . C. 1. D. . Câu 14. Cho hàm số y f() x c ó đạo hàm cấp một là y 4x5 . Đạo hàm cấp hai của hàm số y f() x là A. y 4.5.x4 . B. y2 20x4 . C. y 5.4.x4 . D. y 20x4 . Câu 15. Cho hàm số y f x có đạo hàm tại điểm x là f' x . Khẳng định nào sau đây sai. 0 0 f x f x0 f x0 x f x0 A. f' x0 lim B. f' x0 lim x x x 0 0 x x0 x f x0 h f x0 f x x0 f x0 C. f' x0 lim D. f' x0 lim h 0 x x h 0 x x0 Câu 16. Cho hình chóp . có ⊥ () và là hình vuông. Khẳng định nào sau đây đúng? Trang 2
3. S A D B C A. ⊥ (). B. ⊥ (). C. ⊥ (). D. ⊥ (). un Câu 17. Cho limun a 0 , limvn 0 , vn 0,n . Giới hạn lim bằng vn A. 0. B. . C. . D. . Câu 18. Cho hình chóp đều . như hình dưới. Góc giữa hai đường thẳng và có số đo bằng A. 0°. B. °. C. 60°. D. 45°. Câu 19. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD . Gọi I là trung điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức      vectơ: PI k PA PB PC PD . 1 1 A. k 2 . B. k 4 . C. k . D. k . 2 4 x Câu 20. Cho đường cong y cos và điểm M thuộc đường cong sao cho tiếp tuyến tại M song 3 2 1 song với đường thẳng y x 5. Tọa độ điểm M là 2 5 5 5 A. ;0 . B. ;1 . C. ;0 . D. ;1 . 3 3 3 3 b Câu 21. Cho hàm số f( x ) sin3x cot 2x. Biết f () x a cos3x với a, b . Tính a b . sin2 2x A. 1. B. 5. C. 5. D. 1. Câu 22. Cho hàm số f x x3 3x2 4 . Tập nghiệm S của bất phương trình f' x 0 là A. S ;02; . B. S ; 12; . C. S 0;2 . D. S  2;0. Câu 23. Cho hàm số = + có đạo hàm là ′. Rút gọn biểu thức = ′ + . A. = 2. B. = − 2. C. = . D. = . Trang 3
4. Câu 24. Tính số gia của hàm số = tại điểm (bất kì khác 0) ứng với số gia Δ. A. Δ = − . B. Δ = − . C. Δ = . D. Δ = . () () Câu 25. Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D , AD 2a . Trên đường thẳng vuông góc với ABCD tại D lấy điểm S với SD a 2 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DC và SA. a 3 a 2a A. a 2 . B. . C. . D. . 3 2 3 4x 1 3 Câu 26. Cho hàm số f x . Tính lim f x . x 2 x 2 3 2 3 2 A. lim f x . B. lim f x . C. lim f x . D. lim f x . x 2 2 x 2 3 x 2 2 x 2 3 Câu 27. Một chất điểm chuyển động thẳng theo phương trình S t 3 3t 2 4 , trong đó S tính bằng mét m , t tính bằng giây s . Tại thời điểm t 5 s gia tốc của chất điểm bằng 2 2 2 2 A. 36m / s . B. 30m / s . C. 105m / s . D. 70m / s . Câu 28. Cho hình chóp . đáy là hình vuông cạnh , tâm . Cạnh bên = 2và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi là góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng đáy. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. . B. . C. °. D. °. = 1 = √2 = 60 = 75  Câu 29. Cho hình chóp S. ABC có BC a 2 , các cạnh còn lại đều bằng a . Góc giữa hai vectơ SB và  AC bằng A. 60 . B. 120 . C. 30 . D. 90 . Câu 30. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 x2 x 1 song song với đường thẳng y 6x 4 ? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . 3x 2 khi x 1 Câu 31. Cho hàm số . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: f x 2 x 4 khi x 1 A. Hàm số liên tục trên 1; . B. Hàm số liên tục trên . C. Hàm số liên tục tại x 1. D. Hàm số liên tục trên ;1 . 3 Câu 32. Cho hàm số y (m 2)x3 (m 2)x2 3x 1, m l à tham số. Số giá trị nguyên của m để 2 y 0, x l à A. 3. B. 4. C. 5. D. Vô số. Câu 33. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số = , biết khoảng cách từ điểm (−1; 1) đến tiếp tuyến là lớn nhất. A. = − + 2, = − − 2. B. = − + 2, = − − 1. C. = + 2, = − 2. D. = − + 1, = − − 1. (2−)−3 Câu 34. Biết rằng có giới hạn là +∞ khi → +∞ (với là tham số). Tính giá trị nhỏ nhất của = 2+1− − 2 + 4. A. min = 5. B. min = 1. C. min = 3. D. min = 4. Câu 35. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B . Biết AB a, AA 2a , BC 2a . Gọi M là trung điểm của AC . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng MBC . Trang 4
5. 3a 17 a 17 2a 17 4a 17 A. . B. . C. . D. . 17 17 17 17 PHẦN II: TỰ LUẬN 1 Câu 36. Tìm đạo hàm của hàm số sau: y 6 x với x 0 . x2 sin 2x cos 2x Câu 37. Tính đạo hàm của hàm số sau: y , giải phương trình y 6 . 2sin 2x cos2x Câu 38. Cho hàm số: y f x x x2 1 ()C c)Tính y f () x (Ghi rõ từng bước vận dụng công thức và rút gọn hết sức có thể) d)Viết phương trình tiếp tuyến với ()C tại điểm có hoành độ bằng 0 ( Được sử dụng máy tính để tính đạo hàm). Câu 39. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và SB 2a , biết góc giữa SC và ABCD bằng 30 . Tính khoảng cách từ S đến ABCD . HẾT Trang 5
6. HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP ÁN CHI TIẾT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C B D C C B C A B C A B D A D D B B 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 D C D C A A D B A B B A A C A C D PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. Lời giải Chọn C 2 2 Ta có: f x 2 f 2 . sin 2x 4 2 sin 2 Câu 2. Lời giải Chọn B Sai vì hai mặt phẳng có thể cắt nhau. Sai vì hai đường thẳng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. Sai vì đường thẳng có thể nằm trong mặt phẳng. Câu 3. Lời giải Chọn D Ta có: M a; f a C . Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong C tại điểm M a; f a có dạng: y f a x a f a . Câu 4. Lời giải Chọn C 3 2 x3 2x2 1 1 2. 1 1 Ta có lim 2 . x 1 2x5 1 2 1 5 1 Câu 5. Lời giải Chọn C 1 Ta có y 2x3 5x2 . 2x Câu 6. Lời giải Chọn B Áp dụng thức đạo hàm của hàm số hợp: sin u u .cosu . Câu 7. Lời giải Chọn C Ta có: ′() = −4 + 12 − 6 + 2. Suy ra ′(−1) = −4(−1) + 12(−1) − 6(−1) + 2 = 24. Câu 8. Trang 6
7. Lời giải Chọn A dy sin 3x dx 3x .cos 3x dx 3cos 3x dx . 6 6 6 6 Câu 9. Lời giải Chọn B Hàm số f x liên tục, tăng trên đoạn a; b và f a. f b 0   0 f() a f() b nên phương trình f x 0 không có ngiệm trong khoảng a; b . Khi đó, f() a f( b ) 0 Câu 10. Lời giải Chọn C = = . Câu 11. Lời giải Chọn A Ta có: Hình chiếu của S lên ABC là I nên SI  ABC và I ABC . Do đó, d I, ABC SI . Câu 12. Lời giải Chọn B Trang 7
8. Áp dụng quy tắc hình hộp ta có ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗′ = ⃗′. Câu 13. Lời giải Chọn D 3 1 3 3 lim 1 3x x lim 3 2 1 x , đáp án D . x x x x Câu 14. Lời giải Chọn A y 4x5 y 4.5.x4 . Câu 15. Lời giải Chọn D Áp dụng định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm. Câu 16. Lời giải Chọn D S A D B C Ta có: ⊥ (1) (do là hình vuông) ⊥ (2) (do ⊥ ()) . Từ (1) và (2) suy ra ⊥ (). Câu 17. Lời giải Chọn B Trang 8
9. un Nếu limun a 0,limvn 0 và vn 0,n thì lim . vn Câu 18. Lời giải Chọn B Vì . là hình chóp đều nên ⊥ () mà ⊂ () do đó ⊥ . Câu 19. Lời giải Chọn D       Ta có PA PC 2PM , PB PD 2PN           1 nên PA PB PC PD 2PM 2PN 2(PM PN ) 2.2.PI 4PI . Vậy k . 4 Câu 20. Lời giải Chọn C Thay tọa độ của điểm M trong các phương án vào phương trình hàm số, ta loại được các phương án A, C. 1 1 Vì tiếp tuyến tại điểm M x; y song song với đường thẳng y x 5 nên y x . 0 0 2 0 2 Dùng MTCT tính đạo hàm của hàm số ta tìm được đáp án D. Câu 21. Lời giải Chọn D 2 Ta có f () x sin 3x cot 2x 3cos3x . Vì a, b nên a 3, b 2 . sin2 2x Vậy a b 1. Câu 22. Lời giải Chọn C Ta có : f' x 0 3x2 6x 0 0 x 2 . Câu 23. Lời giải Chọn A Ta có ′ = 1 − ⇒ = 1 − + + = 2. Câu 24. Lời giải Chọn A Ta có Δ = ( + ) − () = − = − . () Câu 25. Lời giải Chọn D Trang 9
10. S K D C 2a A B CD  AD Ta có CD  SA. CD  SD Dựng DK  SA K SA , khi đó DK là đoạn vuông góc chung của SA, CD . Do đó d DC, SA DK . Xét tam giác SAD vuông tại D có DK là đường cao: 1 1 1 1 1 3 2a DK . DK 2 SD2 AD2 2a2 4a2 4a2 3 Câu 26. Lời giải Chọn B 4x 1 3 4 x 2 4 2 lim f x lim lim lim x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 4x 1 3 x 2 4x 1 3 3 Câu 27. Lời giải Chọn A Ta có v t S t 3t2 6t a t v t 6t 6 a 5 36m / s2 . Câu 28. Lời giải Chọn B S A D B C Ta có là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng (). ⇒ , () = = . Tam giác vuông tại có = , với = √2thì = √2. Câu 29. Lời giải Chọn B Trang 10
11. S A C B 2          a   SB. AC SA AB . AC SA. AC AB. AC 0 1 cos SB, AC 2 Ta có   2 2 2 . SB. AC a a a 2   Vậy góc giữa hai vectơ SB và AC bằng 120 . Câu 30. Lời giải Chọn A Gọi phương trình tiếp tuyến có dạng y y0 y x0 x x0 với M x0; y0 là tiếp điểm. Tính y 3x2 2x 1. Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 x2 x 1 song song với đường thẳng 5 x . y 6x 4 nên y x 6 3x2 2x 1 6 0 3 0 0 0 x0 1. 5 122 Với x y . 0 3 0 27 Với x0 1 y0 2 . 5 122 Ta được hai tiếp điểm M1 ; và M 2 1; 2 . 3 27 5 122 122 5 148 Với tiếp điểm M1 ; , ta được tiếp tuyến là đường thẳng y 6 x y 6x (nhận). 3 27 27 3 27 Với tiếp điểm M 2 1; 2 , ta được tiếp tuyến là đường thẳng y 2 6 x 1 y 6x 4 (loại). Câu 31. Lời giải Chọn A Hàm số đã cho xác định trên . Ta có: lim f x lim x2 4 5 f 1 . x 1 x 1 và lim f x lim 3x 2 1 f 1 x 1 x 1 2 2 Với mọi x0 1; ta có : lim f x lim x 4 x0 4 f x0 . x x0 x x0 Vậy hàm số liên tục trên 1; . Câu 32. Lời giải Trang 11
12. Chọn C y 3(m 2)x2 3(m 2)x 3. -TH1: m 2 0 m 2 k hi đó y 3 0 x (thỏa mãn). -TH2: m 2 0 m 2 . Khi đó y 0, x (m 2)x2 (m 2)x 1 0 x m 2 0 m 2 m2 4 0 2 m 2 m m m 1,0,1,2. Từ trường hợp 1 và 2 có tất cả 5 giá trị của tham số m t hỏa yêu cầu bài toán. Câu 33. Lời giải Chọn A Gọi ; với ≠ −1 là điểm thuộc (). Đạo hàm ′ = ⇒ = ′() = − . () () Phương trình tiếp tuyến : = ( − ) + ⇔ + ( + 1) − − 4 − 2 = 0. () | | | | Ta có [, ] = = = . ( ) ( ) () () Để [, ] lớn nhất ⇔ ( + 1) + nhỏ nhất. Mà ( + 1) + ≥ 2. () () = 0 : = − + 2 Dấu ′′ = ′′ xảy ra khi ( + 1) = 1 ⇔ ⇒ . = −2 : = − − 2 Câu 34. Lời giải Chọn C Khi → +∞ thì √2 = → √2 + 1 − ~√2 − = − = 0 → Nhân lượng liên hợp: (2−)−3 3 1 Ta có lim = lim (2 − ) − 3√2 + 1 + = lim 2 2 − − 1 + + 1. →+∞ 2+1− →+∞ →+∞ 2 lim 2 = +∞ →+∞ (2−)−3 Vì 1 ⇒ lim = +∞ lim 1 + + 1 = 4 > 0 →+∞ 2+1− →+∞ 2 ⇔ lim 2 − − = 2 − > 0 ⇒ < 2. → Giải nhanh : ta có → +∞ → √ = (2 − ) − 3√ + 1 + ~(2 − ). √ + = 2(2 − ) → +∞ ⇔ < 2. Khi đó = − 2 + 4 = ( − 1) + 3 ≥ 3, = 3 ⇔ = 1 < 2 ⇒ = 3. Câu 35. Lời giải Chọn D Gọi DE, lần lượt là trung điểm của AC, BC . Trong hình chữ nhật ACC A có MD là đường trung bình nên ta có MD AA 2a ; MD // AA MD  ABC MD  BC 1 . Trang 12
13. AB a Xét ABC có DE là đường trung bình nên ta có DE ; DE // AB DE  BC 2 . 2 2 Từ 1 và 2 , suy ra BC  MDE 3 . Trong MDE kẻ DF  ME tại F . 4 . Mà DF  MDE kết hợp với 3 suy ra DF  BC 5 . Từ 4 và 5 , ta có DF  MBC hay d D, MBC DF . Xét MDE vuông tại D có đường cao DF , nên ta có 1 1 1 1 4 17 2a 17 DF . DF 2 DM 2 DE 2 (2a )2 a2 4a2 17 d A, MBC AC 4a 17 Mặt khác, 2 d A, MBC 2d D, MBC 2DF . d D, MBC DC 17 PHẦN II: TỰ LUẬN Câu 36. Lời giải 1 3 2 Ta có: . 6 x 2 3 x x x Câu 37. Lời giải ĐK: 2sin 2x cos 2x 0 . Ta có 2cos 2x 2sin 2x 2sin 2x cos 2x sin 2x cos 2x 4cos 2x 2sin 2x 6 y 2sin 2x cos 2x 2 2sin 2x cos 2x 2 6 2 y 6 2 6 2sin 2x cos 2x 1 2sin 2x cos 2x 2 1 1 sin 2x cos 2x 2sin 2x cos 2x 1 5 5 5 sin 2x sin 2sin 2x cos 2x 1 2 1 1 sin 2x sin sin 2x cos 2x 5 5 5 x k 2x k2 x k 2x k2 2 1 2 k với sin ;cos . 2x k2 x k 5 5 2x k2 x k 2 Câu 38. Lời giải a) Ta có: Trang 13
14. y f x x x2 1 (x2 1) x2 x2 1 x2 2x2 1 y x x2 1 x( x2 1) x2 1 x x2 1 2 x2 1 x2 1 x2 1 x2 1 b) Với x 0 f (0) 0 f (0) 1 k Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số có dạng: y y0 k( x x0 ) y 0 1(x 0) y x Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là: y x Câu 39. Lời giải Trong tam giác SAB kẻ đường cao SH H AB . SAB  ABCD SAB  ABCD AB SH  ABCD . SH  AB Vậy SH d S,( ABCD) Ta có: BC  SH BC  AB BC  SAB BC  SB SB  SAB . AB  SAB , SH  SAB Do đó tam giác SBC vuông tại B . SC SB2 BC 2 a 5 (định lý Pytago) SH  ABCD SH  HC HC  ABCD Tam giác SHC vuông tại H . a 5 SH SC.sin 30 . 2 a 5 Vậy khoảng cách từ S đến ABCD bằng . 2 Trang 14