Kiểm tra học kì 2 Toán Lớp 11 - Đề số 2 - Năm học 2021-2022 (Có lời giải)

Nội dung text: Kiểm tra học kì 2 Toán Lớp 11 - Đề số 2 - Năm học 2021-2022 (Có lời giải)

1. TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC KỲ 2 – LỚP 11 KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn: TOÁN - Lớp 11 - Chương trình chuẩn ĐỀ SỐ 2 Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) 1. Trắc nghiệm (35 câu) x2 1 Câu 1. lim có giá trị bằng x 1 x 1 A.1. B. . C. 0 . D. 2 . x2 1 khi x 1 Câu 2. Cho hàm số f x . Mệnh đề nào sau đây là đúng ? 2x 1 khi x 1 A. limf x 0. B. limf x 3. C. limf x 1. D. limf x 0. x 1 x 1 x 1 x 1 Câu 3. Biết limun 5. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: 5u 1 5u 1 A. limn 5. B. limn 6. un 1 un 1 5u 1 5u 1 C. limn 1. D. limn 24 . un 1 un 1 lim 2x3 3 x 2 10 Câu 4. Tính x . A. . B. 2 . C. . D. 3. Câu 5. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình dưới đây: Chọn khẳng định sai: A. Hàm số không liên tục trên . B. Hàm số liên tục trên ;4 . C. Hàm số liên tục trên 1; . D. Hàm số liên tục trên ;1 . 3n n4 Câu 6. Giới hạn dãy số u với u là n n 4n4 5 1 3 A. . B. . C. . D. 0. 4 4 3x 1 4 Câu 7. Giới hạn: lim có giá trị bằng: x 5 3 x 4 9 3 A. . B. 3. C. 18 . D. . 4 8  Trang 1
2. 1 Câu 8. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f() x x2 tại điểm có hoành độ x 1 là x A. y x 1. B. y x 1. C. y x 2. D. y 2 x 1. 2 Câu 9. Số gia của hàm số y x 2 tại điểm x0 2 ứng với số gia x 1 bằng bao nhiêu? A. 19 . B. 7 . C. 19. D. 7 . 2x2 2 x 3 Câu 10. Cho hàm số y . Nghiệm của phương trình y' 0 là x2 x 3 1 1 A. x 2 B. x 2. C. x . D. x . 2 2 Câu 11. Đạo hàm của hàm số y x trên là? 1 1 2 1 A. y . B. y . C. y . D. y . x 2 x x 2 x Câu 12. Tính đạo hàm của hàm số y k. xn . A. y k. n 1 . xn . B. y k n xn . C. y k. n 1 . xn 1. D. y k n xn 1 . u Câu 13. Cho hàm số y xác định. Đạo hàm của hàm số y là: v u. v ' u '. v u'. v v '. u u. v ' u '. v u'. v v '. u A. y ' . B. y ' . C. y ' . D. y ' . v v v2 v2 5 Câu 14. Đạo hàm cấp một của hàm số y 1 x3 là: 4 4 4 4 A. y 5 1 x3 . B. y 15 x2 1 x 3 . C. y 3 1 x3 . D. y 5 x2 1 x 3 . Câu 15. Cho hàm số f x xác định trên bởi f x 2 x2 3 x . Hàm số có đạo hàm f x bằng: A. 4x 3. B. 4x 3 . C. 4x 3 . D. 4x 3 . Câu 16. Khẳng định nào sau đây sai A. y x y ' 1. B. y x3 y' 3 x 2 . C. y x5 y' 5 x . D. y x4 y' 4 x 3 . 7 Câu 17. Đạo hàm của hàm số y x2 3 x 7 là 6 6 A. y' 7 2 x 3 x2 3 x 7 . B. y' 7 x2 3 x 7 . 6 6 C. y' 2 x 3 x2 3 x 7 . D. y' 7 2 x 3 x2 3 x 7 . Câu 18. Đạo hàm của y tan 7 x bằng 7 7 7 7 A. 2 . B. 2 . C. 2 . D. 2 . cos 7x sin 7x cos 7x sin 7x Câu 19. Đạo hàm của hàm số f x 2sin 2 x cos 2 x là A. 4cos 2x 2sin 2 x . B. 2cos 2x 2sin 2 x . C. 4cos 2x 2sin 2 x . D. 4cos 2x 2sin 2 x . Câu 20. Đạo hàm của hàm số y cos3 x là A. y sin 3 x . B. y 3sin3 x . C. y 3sin3 x . D. y sin 3 x . x Câu 21. Hàm số f x x4 có đạo hàm là f x , hàm số g x 2 x sin có đạo hàm là g x . Tính 2 f 1 giá trị biểu thức P . g 1 Trang 2 
3. TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC KỲ 2 – LỚP 11 4 4 A. P . B. P 2 . C. P 2. D. P . 3 3 5 Câu 22. Xét hàm số y f x 2sin x . Tính giá trị f bằng: 6 6 A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 2. Câu 23. Hàm số y cot 2 x có đạo hàm là: 1 tan2 2x 1 tan2 2x 1 cot2 2x 1 cot2 2x A. y B. y C. y D. y cot 2x cot 2x cot 2x cot 2x Câu 24. Cho hàm số f x x3 3 x 2 2 x 1. Bất phương trình f'' x 0 có tập nghiệm là A. 1; . B. 0; . C. ;1  1; . D. ;0  1; 2 Câu 25. Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số y . 1 x 4 4 2 2 A. y . B. y . C. y . D. y . 1 x 3 1 x 3 1 x 3 1 x 3 3 Câu 26. Cho tứ diện ABCD với AC AD, CAB DAB 600 , CD AD . Gọi là góc giữa AB và 2 CD . Chọn khẳng định đúng ? 3 1 A. cos . B. 600 . C. 300 . D. cos . 4 4 Câu 27. Cho hình lập phương ABCD. A B C D . Góc giữa hai đường thẳng AC và BD bằng. A. 60 . B. 30 . C. 45. D. 90 . Câu 28. Cho hình chóp S. ABC có SA ABC và ABC vuông ở B , AH là đường cao của SAB . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ? A. SA BC B. AH BC C. AH AC D. AH SC . Câu 29. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết rằng SA SC , SB SD . Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. AB SAC . B. CD AC . C. SO ABCD . D. CD SBD . Câu 30. Cho tứ diện ABCD , có tam giác CAD vuông tại A , tam giác BDC vuông tại D. Trong tam giác ABC có AM BC M BC . Biết MD 3, AM 4, AD 5. Kết luận nào sau đây là đúng? Câu 31. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA a 2 . Tìm số đo của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAB . A. 45o . B. 90o . C. 60o . D. 30o . Câu 32. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông và có mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác SAB là tam giác đều. Gọi I và E lần lượt là trung điểm của cạnh AB và BC ; H là hình chiếu vuông góc của I lên cạnh SC . Khẳng định nào sau đây sai? A. Mặt phẳng SAI vuông góc với mặt phẳng SBC . B. Góc giữa hai mặt phẳng SIC và SBC là góc giữa hai đường thẳng IH và BH . C. Mặt phẳng SIC vuông góc với mặt phẳng SDE . D. Góc giữa hai mặt phẳng SAB và SIC là góc BIC . Câu 33. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC là A. SCA. B. SBA. C. SAB . D. BAC .  3
4. Câu 34. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA ABCD và SA a . Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SC ? a 3 a 6 a 6 a 6 A. . B. . C. . D. . 2 4 3 6 Câu 35. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? Cho tứ diện đều ABCD . Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ABC là: A. Độ dài đoạn DG với G là trọng tâm tam giác ABC . B. Độ dài đoạn DH với H là trực tâm tam giác ABC . C. Độ dài đoạn DK với K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . D. Độ dài đoạn DI với I là trung điểm cạnh BC . 2. Tự luận (4 câu) 2x3 6 3 Câu 1. Tính lim . x 3 3 x2 Câu 2. Cho hàm số y x4 2 mx 2 m, có đồ thị C với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị C có hoành độ bằng 1. Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị C tại A cắt đường tròn 2  :x2 y 1 4 tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất. an3 bn 2 2 n 4 Câu 3. Cho a, b là các số thực thỏa mãn lim 1. Tìm a, b n2 1 Câu 4. Cho hình chóp đều S. ABCD có tất cả các cạnh bằng a , điểm M thuộc cạnh SC sao cho SM 2 MC . Mặt phẳng P chứa AM và song song với BD. Tính diện tích thiết diện của hình chóp S. ABCD cắt bởi P . BẢNG ĐÁP ÁN 1D 2B 3B 4A 5B 6B 7A 8A 9C 10C 11B 12D 13D 14B 15B 16C 17A 18A 19C 20B 21B 22D 23D 24A 25A 26D 27D 28C 29C 30B 31D 32B 33B 34C 35D 1. Trắc nghiệm (35 câu) x2 1 Câu 1. lim có giá trị bằng x 1 x 1 A.1. B. . C. 0 . D. 2 . Lời giải Chọn D x2 1 x 1 x 1 Ta có lim lim lim x 1 2 . x 1x 1 x 1 x 1 x 1 x2 1 khi x 1 Câu 2. Cho hàm số f x . Mệnh đề nào sau đây là đúng ? 2x 1 khi x 1 A. limf x 0. B. limf x 3. C. limf x 1. D. limf x 0. x 1 x 1 x 1 x 1 Lời giải Chọn B Trang 4 
5. TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC KỲ 2 – LỚP 11 Do x 1 nên x 1. Ta có: limf x lim 2 x 1 2.1 1 3 . x 1 x 1 Suy ra:Đáp án A, C sai. Do x 1 nên x 1. Ta có: limf x lim x2 1 1 2 1 0 . x 1 x 1 limf x lim f x lim f x không tồn tại. x 1 x 1 x 1 Suy ra: Đáp án D sai. Vậy đáp án đúng là B. Câu 3. Biết limun 5. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: 5u 1 5u 1 A. limn 5. B. limn 6. un 1 un 1 5u 1 5u 1 C. limn 1. D. limn 24 . un 1 un 1 Lời giải Chọn B 5u 1 5lim u 1 5.5 1 Có limn n 6 un 1 lim u n 1 5 1 lim 2x3 3 x 2 10 Câu 4. Tính x . A. . B. 2 . C. . D. 3. Lời giải Chọn A 3 2 3 3 10 Ta có: lim 2x 3 x 10 lim x 2 2 x x x x 3 3 10 ( vì lim x và lim 2 2 2). x x x x Câu 5. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình dưới đây: Chọn khẳng định sai: A. Hàm số không liên tục trên . B. Hàm số liên tục trên ;4 . C. Hàm số liên tục trên 1; . D. Hàm số liên tục trên ;1 . Lời giải Chọn B Ta có hàm số bị gián đoạn tại x 1 nên sẽ không liên tục trên ;4 3n n4 Câu 6. Giới hạn dãy số u với u là n n 4n4 5  5
6. 1 3 A. . B. . C. . D. 0. 4 4 Lời giải Chọn B 3 4 1 3n n 3 1 Ta có: limu lim limn . n 4 5 4n 54 4 n4 3x 1 4 Câu 7. Giới hạn: lim có giá trị bằng: x 5 3 x 4 9 3 A. . B. 3. C. 18 . D. . 4 8 Lời giải Chọn A 3x 1 4 3x 1 16 3 x 4 3 3 x 4 18 9 Ta có lim lim lim . x 5 x 5 x 5 3 x 4 9 x 4 3 x 1 4 3x 1 4 8 4 1 Câu 8. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f() x x2 tại điểm có hoành độ x 1 là x A. y x 1. B. y x 1. C. y x 2. D. y 2 x 1. Lời giải Chọn A 1 1 Ta có f() x x2 f ()2 x x f (1)1;(1)2 f x x2 1 Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f() x x2 tại điểm có hoành độ x 1 là x y ( x 1) 2 hay y x 1. 2 Câu 9. Số gia của hàm số y x 2 tại điểm x0 2 ứng với số gia x 1 bằng bao nhiêu? A. 19 . B. 7 . C. 19. D. 7 . Lời giải Chọn C 33 3 3  Ta có yfxxfx 0 0 xx 0 2 x 0 x 3 xxxx 0 0 8. Với x0 2 và x 1 thì y 19 . 2x2 2 x 3 Câu 10. Cho hàm số y . Nghiệm của phương trình y' 0 là x2 x 3 1 1 A. x 2 B. x 2. C. x . D. x . 2 2 Lời giải Chọn C 2x2 2 x 3 3 3 2x 1 6x 3 Ta có : y 2 2 2 y 2 2 . x x 3 x x 3 x2 x 3 x 2 x 3 1 y' 0 6 x 3 0 x . 2 Câu 11. Đạo hàm của hàm số y x trên là? 1 1 2 1 A. y . B. y . C. y . D. y . x 2 x x 2 x Trang 6 
7. TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC KỲ 2 – LỚP 11 Lời giải Chọn B Câu 12. Tính đạo hàm của hàm số y k. xn . A. y k. n 1 . xn . B. y k n xn . C. y k. n 1 . xn 1. D. y k n xn 1 . Lời giải Chọn D u Câu 13. Cho hàm số y xác định. Đạo hàm của hàm số y là: v u. v ' u '. v u'. v v '. u u. v ' u '. v u'. v v '. u A. y ' . B. y ' . C. y ' . D. y ' . v v v2 v2 Lời giải Chọn D 5 Câu 14. Đạo hàm cấp một của hàm số y 1 x3 là: 4 4 4 4 A. y 5 1 x3 . B. y 15 x2 1 x 3 . C. y 3 1 x3 . D. y 5 x2 1 x 3 . Lời giải Chọn B 4 4 Ta có : y 5 1 x3 1 x3 15 x 2 1 x 3 . Câu 15. Cho hàm số f x xác định trên bởi f x 2 x2 3 x . Hàm số có đạo hàm f x bằng: A. 4x 3. B. 4x 3 . C. 4x 3 . D. 4x 3 . Lời giải Chọn B f x 2 x2 3 x 2 x 2 3 x ' 4 x 3. Câu 16. Khẳng định nào sau đây sai A. y x y ' 1. B. y x3 y' 3 x 2 . C. y x5 y' 5 x . D. y x4 y' 4 x 3 . Lời giải Chọn C +) Ta có: y xn y'., n x n 1  n * do đó các mệnh đề A, B, D đúng. Vì y x5 y' 5 x 4 nên mệnh đề C sai. 7 Câu 17. Đạo hàm của hàm số y x2 3 x 7 là 6 6 A. y' 7 2 x 3 x2 3 x 7 . B. y' 7 x2 3 x 7 . 6 6 C. y' 2 x 3 x2 3 x 7 . D. y' 7 2 x 3 x2 3 x 7 . Lời giải Chọn A 6 6 Ta có: y'7 x2 37 x x 2 37'723 x x x 2 37 x Câu 18. Đạo hàm của y tan 7 x bằng 7 7 7 7 A. 2 . B. 2 . C. 2 . D. 2 . cos 7x sin 7x cos 7x sin 7x Lời giải Chọn A 7 Ta có: y tan 7x . cos2 7x Câu 19. Đạo hàm của hàm số f x 2sin 2 x cos 2 x là A. 4cos 2x 2sin 2 x . B. 2cos 2x 2sin 2 x .  7
8. C. 4cos 2x 2sin 2 x . D. 4cos 2x 2sin 2 x . Lời giải Chọn C Ta có : f x 4cos 2 x 2sin 2 x . Câu 20. Đạo hàm của hàm số y cos3 x là A. y sin 3 x . B. y 3sin3 x . C. y 3sin3 x . D. y sin 3 x . Lời giải Chọn B Ta có y cos3 x 3 x .sin 3 x 3sin 3 x . x Câu 21. Hàm số f x x4 có đạo hàm là f x , hàm số g x 2 x sin có đạo hàm là g x . Tính 2 f 1 giá trị biểu thức P . g 1 4 4 A. P . B. P 2 . C. P 2. D. P . 3 3 Lời giải Chọn B 3 x x Ta có f x 4 x và g x 2 x sin 2 cos . 2 2 2 f 1 4 Suy ra P 2 . g 1 2 cos 2 2 5 Câu 22. Xét hàm số y f x 2sin x . Tính giá trị f bằng: 6 6 A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 2. Lời giải Chọn D 5 Ta có: f x 2cos x . 6 Suy ra: f 2 . 6 Câu 23. Hàm số y cot 2 x có đạo hàm là: 1 tan2 2x 1 tan2 2x 1 cot2 2x 1 cot2 2x A. y B. y C. y D. y cot 2x cot 2x cot 2x cot 2x Lời giải Chọn D cot 2x 2 1 cot2 2x 1 cot 2 2 x Ta có y . 2 cot 2x 2 cot 2 x cot 2 x Câu 24. Cho hàm số f x x3 3 x 2 2 x 1. Bất phương trình f'' x 0 có tập nghiệm là A. 1; . B. 0; . C. ;1  1; . D. ;0  1; Lời giải Chọn A Tập xác định D f' x 3 x2 6 x 2 f '' x 6 x 6 Trang 8 
9. TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC KỲ 2 – LỚP 11 f'' x 0 6 x 6 0 x 1. 2 Câu 25. Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số y . 1 x 4 4 2 2 A. y . B. y . C. y . D. y . 1 x 3 1 x 3 1 x 3 1 x 3 Lời giải Chọn A 22.2 1 x 4 Ta có y y . 1 x 2 1 x 4 1 x 3 3 Câu 26. Cho tứ diện ABCD với AC AD, CAB DAB 600 , CD AD . Gọi là góc giữa AB và 2 CD . Chọn khẳng định đúng ? 3 1 A. cos . B. 600 . C. 300 . D.cos . 4 4 Lời giải Chọn D       AB CD AB CD Ta có : cos AB , CD   AB . CD AB. CD Mặt khác :          AB CD AB AD AC AB AD AB AC AB. AD .cos600 AB . AC .cos60 0 1 3 1 1 1 AB AD AB AD AB AD AB CD 2 2 2 4 4 1 AB. CD   1 1 Do đó : cosAB , CD 4 cos . AB. CD 4 4 Câu 27. Cho hình lập phương ABCD. A B C D . Góc giữa hai đường thẳng AC và BD bằng. A. 60 . B. 30 . C. 45. D. 90 . Lời giải Chọn D  9
10. Ta có: A C ; BD AC ; BD 90  Câu 28. Cho hình chóp S. ABC có SA ABC và ABC vuông ở B , AH là đường cao của SAB . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ? A. SA BC B. AH BC C. AH AC D. AH SC . Lời giải Chọn C Ta có SA ABC nên SA BC . Mà  ABC vuông tại B: AB BC . SA BC AH BC BC  AH  SAB ; AH  SC  SBC . AB BC AH SB AH AC Nếu AC  AB  SAB thì ABC vuông tại A (Vô lý). SA AC Vậy AH AC là sai. Câu 29. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết rằng SA SC , SB SD . Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. AB SAC . B. CD AC . C. SO ABCD . D. CD SBD . Lời giải Chọn C S A D O B C Vì tứ giác ABCD là hình thoi nên O là trung điểm của AC và BD. Xét tam giác SAC có: SA SC SAC cân tại S . Mặt khác: O là trung điểm của AC nên SO AC 1 . Tương tự ta cũng có: SO BD 2 . Từ 1 và 2 suy ra: SO ABCD . Câu 30. Cho tứ diện ABCD , có tam giác CAD vuông tại A , tam giác BDC vuông tại D.Trong tam giác ABC có AM BC M BC . Biết MD 3, AM 4, AD 5. Kết luận nào sau đây là đúng? A. MD ABC . B. AM BCD . C. AD ABC . D. BD ACD . Lời giải Chọn B Xét AMD , có: AM2 MD 2 4 2 3 2 25 5 2 AD 2 . Vậy AM MD. Ta có hình vẽ: Trang 10 
11. TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC KỲ 2 – LỚP 11 A 5 4 D B 3 M C AM BC + AM MD AM  BCD . Đáp án B đúng. BC, MD BCD + MD AM , để MD ABC thì MD BC , nhưng ta không có điều này. Vậy nói MD ABC là không đúng. Đáp án A sai. + AD AC , để AD ABC thì AD AM , nhưng MAD là góc nhọn (vì AMD vuông tại M ). Vậy AD không thể vuông góc với ABC . Đáp án C sai. + BD CD , để BD ACD thì BD AD , nhưng ta không có điều này. Vậy nói BD ACD là không đúng. Đáp án D sai. Câu 31. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA a 2 . Tìm số đo của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAB . A. 45o . B. 90o . C. 60o . D. 30o . Lời giải CB AB Ta có: CB  SAB SB là hình chiếu vuông góc của SC lên SAB . CB SA Do đó góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAB là SC, SB CSB . CB a 1 Tam giác CSB ta có B 90  , CB a , SB a 3 tan CSB . SB a 3 3 Vậy CSB 30 .  11
12. Câu 32. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông và có mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác SAB là tam giác đều. Gọi I và E lần lượt là trung điểm của cạnh AB và BC ; H là hình chiếu vuông góc của I lên cạnh SC . Khẳng định nào sau đây sai? A. Mặt phẳng SAI vuông góc với mặt phẳng SBC . B. Góc giữa hai mặt phẳng SIC và SBC là góc giữa hai đường thẳng IH và BH . C. Mặt phẳng SIC vuông góc với mặt phẳng SDE . D. Góc giữa hai mặt phẳng SAB và SIC là góc BIC . Lời giải Chọn B Ta có SAB  ABCD SAB  ABCD AB SI  ABCD SI  BC SI AB SI SAB Khi đó BC SI BC AB SBC  SAI . Loại A SI AB I BC SBC Ta có BIC CED BIC CED . Mà BIC BCI 900 CED BCI 90 0 IC  ED ED IC Do đó, ta có ED SI SDE  SIC . Loại C ED SDE Ta có SIC  SAB SI IC SIC ,,, IC  SI SIC SAB AB IC BIC . Loại D AB SAB , AB  SI Trang 12 
13. TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC KỲ 2 – LỚP 11 Câu 33. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC là A. SCA. B. SBA. C. SAB . D. BAC . Lời giải Chọn B S A C B Ta có: + SBC  ABC BC 1 + AB ABC , AB  BC (giả thiết) 2 + SB SBC , SB BC BC SAB 3 Từ 1 , 2 , 3 suy ra góc giữa 2 mp SBC và ABC là SBA . Câu 34. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA ABCD và SA a . Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SC ? a 3 a 6 a 6 a 6 A. . B. . C. . D. . 2 4 3 6 Lời giải Chọn C +) Ta có: SA ABCD SA  AC .  13
14. +) Kẻ AH SC , suy ra d A; SC AH . +) Ta có tam giác ASC vuông tại A nên 1 1 1 3 a 6 AH . AH2 SA 2 AC 22 a 2 3 Câu 35. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? Cho tứ diện đều ABCD . Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ABC là: A. Độ dài đoạn DG với G là trọng tâm tam giác ABC . B. Độ dài đoạn DH với H là trực tâm tam giác ABC . C. Độ dài đoạn DK với K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . D. Độ dài đoạn DI với I là trung điểm cạnh BC . Lời giải Chọn D Do GHK, , trùng nhau và là hình chếu của D trên ABC dD( ,( ABC )) DH DG DK 2. Tự luận (4 câu) 2x3 6 3 Câu 1. Tính lim 2 . x 3 3 x Lời giải 2 2 2x3 6 3 2 x 3 x 3 x 3 2 x 3 x 3 Ta có lim2 lim lim x 33 x x 3 3 x 3 x x 3 3 x 2 2 3 3. 3 3 18 3 3 . 3 3 2 3 Câu 2. Cho hàm số y x4 2 mx 2 m, có đồ thị C với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị C có hoành độ bằng 1. Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị C tại A cắt đường tròn 2  :x2 y 1 4 tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất. Lời giải 2 Đường tròn  :x2 y 1 4 có tâm I 0;1 , R 2 . Ta có A 1;1 m ; y 4 x3 4 mx y 1 4 4 m . Suy ra phương trình : y 4 4 m x 1 1 m . Dễ thấy luôn đi qua điểm cố định 3 F ;0 và điểm F nằm trong đường tròn  . 4 M N F d R I Giả sử cắt  tại M , N . Thế thì ta có: MN 2 R2 d 2 I , 2 4 d 2 I , . Trang 14 
15. TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC KỲ 2 – LỚP 11 Do đó MN nhỏ nhất d I, lớn nhất d I, IF  IF .  3 Khi đó đường có 1 vectơ chỉ phương u IF ; 1 ; u 1; 4 4 m nên ta có: 4 3 13 u. n 0 1. 4 4 m 0 m . 4 16 an3 bn 2 2 n 4 Câu 3. Cho a, b là các số thực thỏa mãn lim 1. Tìm a, b n2 1 Lời giải an3 bn 2 2 n 4 Do lim 1 a 0 ( vì nếu a 0 thì bậc cao nhất của tử lớn hơn bậc cao n2 1 nhất của mẫu thì giới hạn là vô cực). 2 4 3 2 2 b an bn 2 n 4 bn 2 n 4 2 Lúc đó: lim lim limn n b 1. 2 2 1 n 1 n 1 1 n2 Câu 4. Cho hình chóp đều S. ABCD có tất cả các cạnh bằng a , điểm M thuộc cạnh SC sao cho SM 2 MC . Mặt phẳng P chứa AM và song song với BD. Tính diện tích thiết diện của hình chóp S. ABCD cắt bởi P . Lời giải S N A I B M P O D C Gọi O AC  BD , I AM  SO . Trong SBD từ I kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB , SD lần lượt tại N , P . Suy ra thiết diện là tứ giác ANMP . BD AC Ta có: BD  SAC BD  AM . BD SO 1 Mặt khác: BD// NP AM  NP S NP. AM . ANMP 2 SA SC a 2 2 2 2 2 a 13 Ta có: SAC vuông cân tại S AM SA SM a a . AC a 2 3 3 NP SI SI. BD Ta có: NP// BD NP . BD SO SO  15
16. S M I A O C SI Gọi k . SO          2  Cách 1: Ta có: AI AS SI SA k SO AM AS SM SA SC . 3      2  A , I , M thẳng hàng AI l AM SA kSO lSA lSC 3 1 4 k l 1 k  k    2  2 5 SI 4 SA SA SC lSA lSC 2 3 1 2 3 SO 5 k l 0 l 2 3 5 Cách 2: Do A , I , M thẳng hàng nên SI AO MC SI 1 1 4 . . 1 . . 1 SI 4 IO SI SO IO AC MS IO 2 2 5 4 4a 2 NP BD . 5 5 1 1 4a 2 a 13 2 26a2 S NP. AM . ANMP 2 2 5 3 15      Trang 16 