Bài tập Giải tích Lớp 11 - Hoán vị. Chỉnh hợp. Tổ hợp

Nội dung text: Bài tập Giải tích Lớp 11 - Hoán vị. Chỉnh hợp. Tổ hợp

1. HOÁN VỊ-CHỈNH HỢP-TỔ HỢP I. HOÁN VỊ 1. Định nghĩa hoán vị Cho tập hợp A có n phần tử ( n 1) . Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Nhận xét: hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp. Chẳng hạn, hai hoán vị abc và bca của ba phần tử a , b, c là khác nhau 2. Số các hoán vị Định lí: Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử được kí hiệu là Pn . Khi đó : Pn n. ( n 1).( n 2) 1n! ( n!đọc là n giai thừa) 3. Một số ví dụ Ví dụ 1. Hãy liệt kê tất cả các số tự nhiên khác nhau lập từ ba chữ số 1, 2, 3 Giải. Ví dụ 2. Có bao nhiêu cách sắp xếp ba bạn học sinh A, B, C thành một hàng dọc Giải. Ví dụ 3. Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ thành một hàng dọc sao cho nam nữ xen kẻ nhau Giải.
2. * Sơ đồ bài toán như sau: Sắp xếp 3 nam, 3 nữ Xếp 3 hs nam Xếp 3 hs nữ Đổi vị trí nam và nữ có 3!=6 cách có 3!=6 cách có 2!=2 cách Có 6.6.2=72 cách xếp
3. II. CHỈNH HỢP 1. Định nghĩa Cho tập A gồm n phần tử ( n 1) . Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. 2. Số các chỉnh hợp Gọi Ak là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 k n) . Ta có định lí sau n Định lí A k n.( n 1) ( n k 1) n! n ( n k)! Chú ý: a. Quy ước 0! 1 b. Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử. n Do đó: Pn An n! III.TỔ HỢP 1. Định nghĩa Giả sử tập A có n phần tử ( n 1) . Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. Chú ý: Quy ước tập rỗng là tổ hợp chập 0 của n phần tử 2. Số các tổ hợp Gọi Ck là số các tổ hợp chập k của n phần tử (1 k n) . Khi đó : n Định lí Ck n! n k !( n k)! 3. Tính chất của các số Ck n a. Tính chất 1 C k Cn k n n b. Tính chất 2 (công thức Pa-xcan) k 1 k k Cn 1 Cn 1 Cn
4. * Lưu ý đối với học sinh: cần phân biệt được hai khái niệm chỉnh hợp và tổ hợp. Có thể phân biệt hai khái niệm bằng hai sơ đồ sau Tổ hợp Tập A có n Chọn ra k phần tử phần tử Có Ck n! cách n ( n k )! k! Chỉnh hợp Tập A có n Chọn ra k phần tử Sắp xếp k phần tử phần tử đã chọn Có Ck n! cách n ( n k )! k! Có k! cách sắp xếp Có A k C k .k ! n! cách chọn n n ( n k)! Ví dụ 1. Cho hình lục giác ABCDEF, hãy tìm một đoạn thẳng mà điểm đầu và điểm cuối chọn từ các đỉnh A, B, C, D, E, F và hãy tính xem có bao nhiêu đoạn thẳng như vậy. *Hướng dẫn Ta có sơ đồ bài toán như sau Tập X={A, B, C, D, E, F} Chọn ra 2 điểm để nối thành X có 6 phần tử đoạn thẳng 2 Có C6 15 đoạn thẳng Giải.
5. Ví dụ 2. Một nhóm học sinh nam gồm 6 em, muốn chia thành 3 cặp để khiêng bàn. Hỏi có bao nhiêu cách chia 6 học sinh trên thành 3 cặp. Giải. Ví dụ 3. Cho hình lục giác ABCDEF, hãy tìm một vectơ khác 0 mà điểm đầu và điểm cuối chọn từ các đỉnh A, B, C, D, E, F và hãy tính xem có bao nhiêu vectơ như vậy. *Hướng dẫn Ta có sơ đồ bài toán như sau Tập X={A, B, C, D, E, F} Chọn ra 2 điểm để Chọn điểm đầu và X có 6 phần tử nối thành vectơ điểm cuối 2 Có C6 15 cách 2! 2 hoán vị chọn 2 Có C6 .2! 15* 2 30 vectơ Giải. Ví dụ 4. Lớp 11/2 có 32 học sinh, cần chọn ra 3 học sinh để phân công làm 3 nhiệm vụ như sau: 1 bạn chấm điểm thi đua, 1 bạn kiểm tra vệ sinh lớp học, 1 bạn kiểm tra điện. Hỏi có bao nhiêu cách chọn (giả sử tất cả học sinh đều có khả năng được chọn và mỗi bạn chỉ nhận nhiều nhất một nhiệm vụ). *Hướng dẫn Ta có sơ đồ bài toán như sau:
6. Tập X có 32 phần tử Chọn ra 3 phần tử Phân công nhiệm vụ cho 3 học sinh 3 Có C32 4960 3! 6 cách chọn cách phân công 3 Có C32 .3! 4960*6 29760 cách chọn Giải. Ví dụ 5. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau mà các chữ số lấy từ tập X {1; 2;3; 4;5; 6;7} (Học sinh có thể tự lập sơ đồ để thấy được phương pháp giải cho ví dụ Ta thấy rằng có thể sử dụng qui tắc nhân hoặc chỉnh hợp để giải) Giải. IV. Trắc nghiệm khách quan Câu 1: Một liên đoàn bóng rổ có 10 đội, mỗi đội đấu với mỗi đội khác hai lần, một lần ở sân nhà và một lần ở sân khách. Tính số trận đấu được sắp xếp? A. 45 B. 90C. 100 D. 180
7. Câu 2: Giả sử ta dùng 5 màu để tô cho 3 nước khác nhau trên bản đồ và không có màu nào được dùng hai lần. Tính số các cách để chọn những màu cần dùng? A. 5!.2! B. 8 C. 5!.3!2! D. 53 Câu 3: Tính số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều 10 cạnh? A. 35B. 120 C. 240D. 720 Câu 4: Nếu tất cả các đường chéo của đa giác đều 12 cạnh được vẽ thì số đường chéo là: A. 121B. 66 C. 132D. 54 Câu 5: Nếu một đa giác đều có 44 đường chéo, thì số cạnh của đa giác là: A.11B.10 C.9D.8 Câu 6: Sau bữa tiệc, mỗi người bắt tay một lần với mỗi người khác trong phòng. Có tất cả 66 lần bắt tay. Hỏi trong phòng có bao nhiêu người? A. 11B. 12 C. 33D. 67.
8. Câu 7: Có 8 bạn nam và 8 bạn nữ xếp thành 1 hàng dọc.Hỏi có bao nhiêu cách xếp? A. 64.B. 16.C. 16!. D. 8!.8!. Câu 8: Một tổ có 15 học sinh trong đó có 9 nam, 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia tổ thành 3 nhóm sao cho mỗi nhóm có đúng 3 nam và 2 nữ. A. C3 .C 2 .C 4 .C3 . B. C3 .C 3 .C 2 .C2 . C. C5 .C 5 .C5 . D. C3 .C 2 .C 3 .C2 . 9 6 6 4 9 6 6 9 15 10 5 9 6 6 4 Câu 9: Dùng sáu chữ số 1;2;3;4;5;6 để viết các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau.Các số mà trong đó bắt đầu bằng 12 là : A. P4. B. A42 . C. C42 . D. A64 . Câu 10: Trong hộp kín đựng 2 bi đỏ, 5 bi trắng, 7 bi vàng. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 4 viên bi có đủ 3 màu. A. C1 .C 2 .C 2 C 2 .C1.C1 C1.C2 .C2 . B. C1.C1.C2.C 2 .C1.C1 .C 1 .C2.C1 . 2 5 7 2 5 7 2 5 7 2 5 7 2 5 7 2 5 7 C. C0 .C 2 .C 2 C 2.C1.C1 C 1 .C 2 .C1 . D. C1 .C1.C2 C 2 .C 1 .C 1 C 1.C 2 .C1 . 2 5 7 2 5 7 2 5 7 2 5 7 2 5 7 2 5 7
9. Câu 11: Một đội bóng chuyền nam trường Bạch Đằng có 12 học sinh gồm 7 học sinh K12, 5 học sinh K11. Trong 1 trận đấu, huấn luyện viên cần chọn ra 6 bạn, trong đó có ít nhất 4 bạn K12. Hỏi có bao nhiêu cách? A. 495.B. 924. C. 462.D. 665280. Câu 12: Xếp ngẫu nhiên 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp nếu hai bạn nữ đứng cạnh nhau? A. 2!.3! .B. 5! . C. 2.2!.3! .D. 4.2!.3!. Câu 13: Một hộp đựng 4 bi đỏ, 5 bi xanh, 7 bi vàng. Hỏi có bao nhiêu cách lấy được 3 viên bi trong đó chỉ có 2 màu A. 371 .B. 203 . C. 217 .D. 420. Câu 14: Cho đa giác đều n đỉnh, n N,n 3 . Tìm n biết rằng đa giác đó có 135 đường chéo? A. n =15.B. n = 27. C. n = 8.D. n =18.
10. Câu 15: Một hộp chứa 20 quả cầu trong đó có 12 quả đỏ, 8 quả xanh. Hỏi có bao nhiêu cách lấy được 3 quả trong đó có ít nhất 1 quả xanh? A. 900.B. 920.C. 220.D. 56. Câu 16: Một hộp đựng 8 bi xanh và 4 bi đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra được 3 bi cùng màu? A. 60 .B. 360.C. 224 .D. 8064. Câu 17: Cho X={1;2; ;9}. Có bao nhiêu số tự nhiên n gồm 6 chữ số khác nhau lấy từ X thỏa mãn n luôn chứa số 1 và số 9. A. 840. B. 1220. C. 2520. D. 2850. Câu 18: Cho tập A={1;2;3;4;5}. Có bao nhiêu tập con của A? A. 31. B. 32. C. 33. D. 34.
11. Câu 19: Số các số tự nhiên chia hết cho 10 và gồm 5 chữ số A. 3260. B. 3168. C. 12070. D. 9000. Câu 20: Từ tập X={1;2;3;4;5;6}. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên n gồm 3 chữ số khác nhau được sắp xếp theo thứ tự giảm dần từ hàng trăm đến hàng đơn vị. Tìm số phần tử của S. A. 20. B. 30. C. 36. D. 24. V. BÀI TẬP RÈN LUYỆN. DẠNG TOÁN SỬ DỤNG CÁC QUI TẮC ĐẾM, HOÁN VỊ,CHỈNH HỢP, TỔ HỢP Bài 1. Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} a. Có bao nhiêu tập con X của tập A thoả điều kiện X chứa 2 phần tử b. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A. Bài 2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau?
12. Bài 3. Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau vào một dãy 7 ô trống. Hỏi: a. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau? b. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau? Bài 4. Cho tập X = {0,1,2,3,4,5,6,7}. Có thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khác nhau đôi một từ X (chữ số đầu tiên phải khác 0) trong mỗi trường hợp sau: a. n là số chẵn. b. Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1. Bài 5. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ cả 3 màu? Bài 6. Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhau. a. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau? b. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt (chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)?
13. Bài 7. Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng. a. Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành? b. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành? Bài 8. Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có năm chữ số 1 và bốn chữ số còn là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế, nếu: a. Năm chữ số 1 được xếp kề nhau. b. Các chữ số được xếp tuỳ ý. Bài 9. Có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn học sinh A, B, C, D, E vào một chiếc ghế dài sao cho: a. Bạn C ngồi chính giữa. b. Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế. Bài 10. Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt số 0 và 1.
14. Bài 11. Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5. Bài 12. Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn sách Văn, 4 cuốn sách Nhạc và 3 cuốn sách Hoạ. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn. a. Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách thuộc 2 thể loại Văn và Nhạc. Hỏi có bao nhiêu cách tặng? b. Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Bài 13. Một lớp học nhạc có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được chọn ra để lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau nếu: a) phải có ít nhất là 2 nữ. b) chọn tuỳ ý.
15. Bài 14. Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số đã cho ta có thể lập được: a. Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhau từng đôi một. b. Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một. c. Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một. Bài 15. Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí nam. Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách? Bài 16. Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta lập các số mà mỗi số có năm chữ số trong đó các chữ số khác nhau từng đôi một. Hỏi a. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2. b. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt hai chữ số 1 và 6.
16. Bài 17. Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho: a. Có đúng 2 nam trong 5 người đó. b. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó. Bài 18. Từ 3 chữ số 2, 3, 4 có thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó có mặt đủ 3 chữ số trên. Bài 19. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ. Bài 20. Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước đôi một khác nhau. a. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ. b. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ.