Đề thi học kì 2 môn Toán Lớp 11 - Đề 3 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học kì 2 môn Toán Lớp 11 - Đề 3 (Có đáp án)

1. ĐỀ THI HỌC KỲ II ĐỀ 3 Môn: Toán 11 Thời gian: 90 phút Câu 1: (1 điểm) Tính các giới hạn sau: 2 x x2 a) lim x 1 x 1 x 2 b) lim x 3 x 3 Câu 2: (1 điểm) Chứng minh rằng phương trình x5 3x4 5x 2 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt. Câu 3: (1,5 điểm) 3x 1 a) Tính đạo hàm của hàm số y 1 x 2 b) Cho hàm số f (x) cos 2x . Tính f . 2 x 1 Câu 4: (1 ,5 điểm) Cho hàm số y . x 1 a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = – 2. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với d: x 2 y . 2 Câu 5: (4 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O, SA  (ABCD) và SA a 6 . a) Chứng minh : (SBD)  (SAC) . b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD). c) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và BC. Câu 6: (1 điểm) Cho định nghĩa bông tuyết von Koch như sau:
2. Bông tuyết đầu tiên K1 là một tam giác đều có cạnh bằng 1. Tiếp đó, chia mỗi cạnh của tam giác thành ba đoạn bằng nhau và thay mỗi đoạn ở giữa bởi hai đoạn bằng nó sao cho chúng tạo với đoạn bỏ đi một tam giác đều về phía ngoài, ta được bông tuyết K2 . Cứ tiếp tục như vậy, cho ta một dãy các bông tuyết K1, K2 , K3, , Kn Gọi Cn là chu vi của bông tuyết Kn . Hãy tính limCn K K1 K2 3
3. ĐÁP ÁN câu Đáp án Điểm 1 2 x x2 ( x 2)(x 1) 0.5 lim = lim lim( x 2) 3 x 1 x 1 x 1 (x 1) x 1 lim x 2 5 0.5 x 3 x 2 lim vì lim x 3 0 x 3 x 3 x 3 x 3 0 khi x 3 2 Xét hàm số f (x) x5 3x4 5x 2 f liên tục trên R. 1 Ta có: f (0) 2, f (1) 1, f (2) 8, f (4) 16 f (0). f (1) 0 PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c1 (0;1) f (1). f (2) 0 PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c2 (1;2) f (2). f (4) 0 PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c3 (2;4) PT f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng (–2; 5). 3 4 1 y (x 1)2 f (x) 4 cos2x sin 2x f (x) 2sin 4x f (x) 8cos4x 0.5 f " 8cos2 8 2 4 x 1 2 1 y y (x 1) x 1 (x 1)2 a) Với x = –2 ta có: y = –3 và y ( 2) 2 PTTT: y 3 2(x 2) y 2x 1. x 2 1 1 0.5 b) d: y có hệ số góc k TT có hệ số góc k . 2 2 2 Gọi (x0; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có 1 2 1 x0 1 y (x ) 0 2 2 2 x 3 (x0 1) 0 1 1 + Với x 1 y 0 PTTT: y x . 0 0 2 2
4. 1 7 + Với x 3 y 2 PTTT: y x . 0 0 2 2 5 1 S a) Chứng minh : BD  SC,(SBD)  (SAC). ABCD là hình vuông nên BD  AC, BD SA (SA  (ABCD)) BD  (SAC) H B BD SC A (SBD) chứa BD  (SAC) nên (SBD) (SAC) O  D C b) Tính d(A,(SBD)) 1 Trong SAO hạ AH  SO, AH  BD (BD (SAC)) nên AH  (SBD) a 2 AO , SA = a 6 gt và SAO vuông tại A 2 1 1 1 1 2 13 nên AH 2 SA2 AO2 6a2 a2 6a2 6a2 a 78 AH 2 AH 13 13 c) Tính góc giữa SC và (ABCD) 1 Dế thấy do SA  (ABCD) nên hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC góc giữa SC và (ABCD) là ·SCA . Vậy ta có: SA a 6 tan·SCA 3 ·SCA 600 AC a 2 d) Gọi M là trung điểm của AB. 1 AM.SA 6 dSO;BC dBC; SOM dB; SOM d A; SOM AK a AM 2 SA2 5 6 Mỗi công đoạn cho ta một hình mới có số cạnh gấp 4 lần số cạnh ban 1 n 1 đầu nên bông tuyết Kn có số cạnh là 3.4 .
5. Mỗi công đoạn lại làm độ dài mỗi cạnh giảm đi 3 lần nên bông tuyết 1 K có độ dài cạnh là . n 3n 1 Như vậy chu vi của bông tuyết Kn được tính bằng n 1 n 1 1 4 Cn 3.4 . n 1 3. 3 3 n 1 4 Suy ra limCn lim3. 3