Kiểm tra học kì 2 môn Toán Lớp 11 - Đề 13 (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Kiểm tra học kì 2 môn Toán Lớp 11 - Đề 13 (Có lời giải chi tiết)

1. KIỂM TRA HỌC KỲ II Môn: TOÁN - Lớp 11 - Chương trình chuẩn ĐỀ SỐ 13 Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Mã đề thi Họ và tên thí sinh: SBD: PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. Cho hàm số f x xác định trên bởi f x ax b , với a, b là hai số thực đã cho. Chọn câu đúng. A. f x b. B. f x b. C. f x a . D. f x a . 4x 3 Câu 2. Tìm giới hạn lim x 1 x 1 A. . B. 2. C. . D. 2 . Câu 3. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi A. Mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều vuông góc với mặt phẳng kia. B. Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng vuông góc với nhau. C. Mỗi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng kia. D. Mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Câu 4. Cho hình lập phương ABCD. A B C D . Tìm các đường thẳng đi qua 2 đỉnh của hình lập phương đã cho và vuông góc với đường thẳng AC A. BD và BD . B. BC và BC . C. AD và AD . D. AB và AB . Câu 5. Cho đồ thị hàm số y f x như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Hàm số có đạo hàm tại x 1 . B. Hàm số có đạo hàm tại x 2 . C. Hàm số có đạo hàm tại x 3 . D. Hàm số có đạo hàm tại x 0 . Câu 6. Tính đạo hàm hàm số = sin2. A. ′ = 2cos2. B. ′ = cos2. C. ′ = −2cos2. D. ′ = −2sin2. Câu 7. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y x3 x2 3x 4 tại điểm M 1;1 là A. 4. B. 0 . C. 2. D. 1. Câu 8. Cho lim un 3 ; lim vn 2 . Khi đó lim un vn bằng A. 1. B. 5. C. 1. D. 5 . 3 2 Câu 9. Vi phân của hàm số y x 2x là A. dy (3x2 4x )d x . B. dy (3x2 x)d x . C. dy (3x2 2x )d x . D. dy (3x2 4x )d x . Trang 1
2. Câu 10. Giá trị của lim bằng → A. −2. B. 2. C. 0. D. −1. Câu 11. Cho hình hộp ABCD.'''' A B C D . Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng?         A. BA BC BB' BA'. B. BA BC BB ' BC ' .         C. BA BC BB ' BD ' . D. BA BC BB' BD . ( ) Câu 12. Xét hàm số = với ≠ 0. Đạo hàm của hàm số tương ứng là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A. . B. . C. . D. . Câu 13. Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A , AB a , SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ B đến SAC . A. a 3 . B. a . C. 2a . D. a 2 . 5 4 2 Câu 14. Đạo hàm của hàm số y x 4x 11x 26 tại x0 1 là A. y ( 1) 0. B. y ( 1) 11. C. y ( 1) 33. D. y ( 1) 1. 2 3n 2 n 4 Câu 15. Tính I lim . n 1 3 A. I 3 . B. I 9 . C. I 3 . D. I 9 . 1 Câu 16. Cho hàm số f x . Tính f 1 . 2x 1 8 2 8 4 A. . B. . C. . D. . 27 9 27 27 Câu 17. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. I. f x liên tục trên đoạn a; b và f a . f b 0 thì phương trình f x 0 có nghiệm. II. f x không liên tục trên a; b và f a . f b 0 thì phương trình f x 0 vô nghiệm. A. Cả I và II sai. B. Chỉ I đúng. C. Chỉ II đúng. D. Cả I và II đúng. Câu 18. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thoi cạnh a ; SA  AD và SA a 3 . Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC A. 45 . B. 90 . C. 60 . D. 30 . x Câu 19. Cho hàm số f() x x 2 có đạo hàm là f x , hàm số g( x ) 4x sin có đạo hàm là g x . 4 Tính giá trị biểu thức P f 2 .g 2 . 1 16 A. P . B. P . C. P 1. D. P . 4 16 16 Câu 20. Cho hình chóp S. ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Chọn mệnh đề sai? Trang 2
3.   A. SA , CD 60 . B. SO , AD 90 . C. SA , BD 90. D. SA, CD 120 . Câu 21. Cho hình chóp tứ giác đều . có tất cả các cạnh bằng . Gọi là điểm trên đoạn sao cho = 2. Tan góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ()là A. . B. √. C. √. D. . Câu 22. Một chất điểm chuyển động theo phương trình () = − 3 − 9 + 2017, trong đó > 0, tính bằng giây và () tính bằng mét. Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm = 3 giây. A. 6 ⁄. B. 15 ⁄. C. 9 ⁄. D. 12 ⁄. Câu 23. Cho hàm số = sin2 có đạo hàm là ′ và ′′. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. + (′) = 4. B. 4 + ′′ = 0. C. = ′. tan2. D. 4 − ′′ = 0. 2 2 a 3 Câu 24. Cho hàm số f x 2sin x 3cos x . Khi đó f . Mệnh đề nào sau đây sai? 6 b A. ab 10 . B. a b 5 . C. a2 b2 29 . D. a b 7 . Câu 25. Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x4 2x2 3 song song với trục hoành là A. ba. B. hai. C. một. D. không. 3 2 Câu 26. Tính số gia của hàm số y x x 1 tại điểm x0 ứng với số gia x 1. 2 2 A. y 3x0 5x0 2 . B. y 3x0 5x0 3. 3 2 2 C. y 2x0 3x0 5x0 2 . D. y 3x0 5x0 2 . Câu 27. Cho hàm số f x x3 2x2 x 5 . Tìm tập nghiệm S của phương trình f x 0. 1 1 1 1 A. S 1;  . B. S 1; . C. S 1;  . D. S 1; . 3 3 3  3  Câu 28. Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA  (ABCD) và SA a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là A. a 2 . B. a 5 . C. a . D. 2a . x 2 Câu 29. Cho hàm số f() x . Khẳng định nào sau đây đúng nhất? x2 x 6 A. Hàm số liên tục trên . B. TXĐ: D \ 3; 2.Ta có hàm số liên tục tại mọi x D và hàm số gián đoạn tại x 2, x 3 . C. Hàm số liên tục tại x 2, x 3 . D. Tất cả đều sai. x 1 2 Câu 30. Giá trị lim bằng x 3 x 3 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 2 4 2 Trang 3
4.    Câu 31. Cho hình lăng trụ ABC. A B C , M là trung điểm của BB . Đặt CA a , CB b , AA c (Tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?  1  1 A. AM a c b . B. AM b c a . 2 2  1  1 C. AM b a c . D. AM a c b . 2 2 Câu 32. Cho hàm số f x mx2 4x m2 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đạo hàm f x 0 với x 1;2 . A. 2 m 1. B. 2 m 1, m 0 . C. m 2 . D. m 1. Câu 33. Cho hàm số y x3 mx2 2m , có đồ thị C với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị C có hoành độ bằng 1. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C tại A biết tiếp tuyến cắt đường tròn  :x2 y 1 2 9 theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất. A. y x 4. B. y x 1. C. y x 1. D. y x 4. Câu 34. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , AD . Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng SCN theo a . a 3 a 3 a 2 4a 3 A. . B. . C. . D. . 3 4 4 3 √ Câu 35. Cho ; ; là các số thực thỏa mãn = . Gọi là tập hợp các nghiệm của phương → trình 6 + (9 + 33) + 9 − 22 = 0. Tổng các phần tử của tập bằng A. 0. B. 11. C. − . D. −11. PHẦN II: TỰ LUẬN f x 2x 1 f 1 Câu 36. Cho hàm số . Tính . Câu 37. Cho hàm số f x x2 3x 2. Giải phương trình 4 f x 2x 5 f x x 1 2 25 x2 . Câu 38. Cho hàm số y f x x3 3x2 x 1 có đồ thị là đường cong C . Viết phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ bằng 1 . Trang 4
5. Câu 39. Cho hình chóp SABCD . có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , AD a 3 . Hai mặt phẳng SAB và SAC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng ABCD biết SC a 5 . HẾT Trang 5
6. HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP ÁN CHI TIẾT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C C D A A A A B D A C C B D D A B C 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 C D A D B B B B B D B C C A D C A PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. Lời giải Chọn C Ta có f x ax b a . Câu 2. Lời giải Chọn C 4x 3 Ta có lim vì lim 4x 3 1, lim x 1 0 , x 1 0 khi x 1 . x 1 x 1 x 1 x 1 Câu 3. Lời giải Chọn D Câu 4. Lời giải Chọn A Ta có ABCD là hình vuông nên AC  BD . BD //BD BD  AC . Câu 5. Lời giải Chọn A Tại x 1 đồ thị hàm số không liên nét nên hàm số không liên tục. Vậy hàm số không có đạo hàm tại x 1 . Trang 6
7. Câu 6. Lời giải Chọn A Ta có = sin2 ⇒ ′ = 2cos2. Câu 7. Lời giải Chọn A Ta có: y 3x2 2x 3 . Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M 1;1 là y 1 3.12 2.1 3 4 . Câu 8. Lời giải Chọn B lim un vn limun limvn 3 2 5 . Câu 9. Lời giải Chọn D 3 2 2 Ta có dy x 2x dx (3x 4x )d x . Câu 10. Lời giải Chọn A 2 2 Ta có lim +1 = (1) +1 = −2. →1 −2 1−2 Câu 11. Lời giải Chọn C    Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: BA BC BD .       Suy ra BA BC BB' BD BB ' BD ' . Câu 12. Lời giải Chọn C ( ) ( ) Ta có: ′ = . . Câu 13. Lời giải Chọn B Trang 7
8. AB  AC Ta có AB  SAC nên d B, SAC AB a . AB  SA Câu 14. Lời giải Chọn D Ta có: y 5x4 16x3 22x y ( 1) 5( 1)4 16( 1)3 22( 1) 1. Câu 15. Lời giải Chọn D 2 2 4 2 3 1 2 3n n 4 n n I lim 3 lim 3 9 . n 1 1 1 n Câu 16. Lời giải Chọn A 1 Tập xác định D \  . 2 2 8 f x , f x . 2x 1 2 2x 1 3 8 Khi đó f 1 . 27 Câu 17. Lời giải Chọn B Câu 18. Lời giải Chọn C Trang 8
9. Ta có BC// AD SD ; BC SD ; AD SDA . SA tan SDA 3 SDA 600 . AD Câu 19. Lời giải Chọn C 1 x Ta có: f x và g x 4 cos . 2 x 2 4 4 1 1 Do đó: f 2 và g 2 4 cos 4. 2 2 2 4 4 2 1 Vậy P f 2 .g 2 .4 1. 4 Câu 20. Lời giải Chọn D S A D O B C * Các mặt bên của hình chóp là các tam giác đều.       * SA, CD SA, BA AS, AB SAB 60 . SO  AC * SO  ABCD SO  AD SO, AD 90. SO  BD BD  SO do SO  ABCD * BD  SAC BD  SA SA, BD 90 . BD  AC * SA , CD SA , AB SAB 60 . Câu 21. Lời giải Trang 9
10. Chọn A Ta có = √2 ⇒ = √ . Xét tam giác vuông tại có: = √ − = − √ = √ . Kẻ ⊥ tại nên ; () = Do ⊥ ⇒ //. Ta có = = = . ⇒ = = √ và = = √ ⇒ = − = √2 − √ = √ . Xét tam giác vuông tại có: ; () = = ⇒ ; () = . Câu 22. Lời giải Chọn D Ta có ′() = 3 − 6 − 9 ⇒ ′′() = 6 − 6. Gia tốc của chất điểm () = ′′() = 6 − 6 ⇒ (3) = 6.3 − 6 = 12 ⁄. Câu 23. Lời giải Chọn B Ta có ′ = 2cos2 ⇒ ′′ = − 4sin2 = −4 ⇒ ′′ + 4 = 0. Câu 24. Lời giải Chọn B f x 4sinx .cos x 6cosx .sin x 5sin 2x . 5 3 a 5 f 5sin . 6 3 2 b 2 C sai. Câu 25. Lời giải Chọn B Tiếp tuyến song song với trục hoành thì sẽ có hệ số góc bằng 0 tiếp điểm là cực trị hàm số 3 x 0 Ta có y 4x 4x ; y 0 Đồ thị hàm số có 3 cực trị x 1 ( Ở đây có thể nhớ nhanh hàm số y ax4 bx2 c có 3 cực trị khi ab 0 ) Trang 10
11. Hàm số trùng phương có hai cực trị đối xứng qua Oy một tiếp tuyến Hàm số trùng phương có một cực trị khác thuộc Oy một tiếp tuyến nữa Vậy có hai tuyến song song với trục hoành. Câu 26. Lời giải Chọn B 3 2 y f x x f x f x 1 f x x 1 x 1 1 x3 x2 1 3x2 5x 2. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Câu 27. Lời giải Chọn B f x 3x2 4x 1 1 f x 0 x 1; x 3 Câu 28. Lời giải Chọn D S A B D C Ta có: CD// AB nên d SB, CD d CD, SAB d C, SAB BC 2a . Câu 29. Lời giải Chọn B TXĐ : D \ 3; 2. Ta có hàm số liên tục tại mọi x D và hàm số gián đoạn tại x 2, x 3 . Trang 11
12. Câu 30. Lời giải Chọn C x 1 2 x 3 1 1 Ta có lim lim lim . x 3 x 3 x 3 x 1 2 x 3 x 3 x 1 2 4 Câu 31. Lời giải Chọn C      1  1 Ta có AM AB BM CB CA AA b a c 2 2 Câu 32. Lời giải Chọn A Ta có: f x 2mx 4 ; f x 2mx 4 0. (1) TH1) m 0, ta được: (1) 4 0 nên cũng thỏa x 1;2 . 2 2 TH2) m 0, ta được: (1) x S ; . m m 2 Để f x 0 với x 1;2 1;2  S 2 m 1. m 2 2 TH3) m 0 , ta được: (1) x S ; . m m 2 Để f x 0 với x 1;2 1;2  S 1 m 2 . m Vậy, 2 m 1 thỏa yêu cầu bài toán. Câu 33. Lời giải Chọn D 2 Đường tròn  :x2 y 1 4 có tâm I 0;1 , R 3. Ta có A 1;1 m ; y 3x2 2mx y 1 3 2m . 3 5 Suy ra phương trình : y 3 2m x 1 1 m . Dễ thấy luôn đi qua điểm cố định F ; và điểm 2 2 3 2 F nằm trong đường tròn  (do IF R ). 2 M N F d R I Giả sử cắt  tại M , N . Thế thì ta có: MN 2 R2 d 2 I; 2 9 d 2 I; . Trang 12
13. Do đó MN nhỏ nhất d I; lớn nhất d I; IF  IF .  3 3 Khi đó đường có 1 vectơ chỉ phương u  IF ; ; u 1; 3 2m nên ta có: 2 2 3 3 u. n 0 1. 3 2m . 0 m 2 . 2 2 Với m 2 ta có A 1;3 , y 1 1. Phương trình tiếp tuyến là y 1. x 1 3 y x 4 . Câu 34. Lời giải Chọn C a 3 M là trung điểm của AB thì SM  ABCD . Ta có SM . 2 ID Gọi I là giao điểm của NC và MD . Ta có d D; SCN d M; SCN . IM a .a DN. DC a 5 Vì ABCD là hình vuông nên NC  DM tại I . ID. CN DN. DC ID 2 CN a 5 5 2 a 5 a 5 3a 5 ID 2 IM DM ID . 2 5 10 IM 3 IM  CN Do CN  SMI . Kẻ MH  SI , vì CN  MH nên MH  SCN MH d M; SCN . CN  SM 1 1 1 4 20 32 Trong tam giác SMI có . MH 2 SM 2 MI 2 3a2 9a2 9a2 3a 2 a 2 Vậy MH d D; SCN . 8 4 Câu 35. Lời giải Chọn A Trang 13
14. √ Vì 5 − 9 + 3 + 1 = ( − 1)(5 + 1) và = suy ra phương trình √ + 11 + → − 3 = 0(1) có nghiệm kép = 1. + (1) ⇔ √ + 11 = 3 − ⇒ + 11 = (3 − ) ⇔ ( − ) + 6 + 2 = 0(∗). + (1) có nghiện kép = 1 suy ra (∗) có nghiệm kép = 1. − ≠ 0 − ≠ 0 = − + (∗) có nghiệm kép = 1 ⇔ − + 6 + 2 = 0 ⇔ − + 6 + 2 = 0 ⇔ (2). = 9 − 2( − ) = 0 9 + 12 + 4 = 0 + Thay trở lại ta có: √ √ = = → → → ()() 22 + 99 − (2 + 9) = → 3( − 1)(5 + 1)√22 + 99 + (2 + 9) 18 − 36 + 18 = → 3( − 1)(5 + 1)√22 + 99 + (2 + 9) 18( − 1) = → 3( − 1)(5 + 1)√22 + 99 + (2 + 9) = = (3). → ()√() + Từ (2) và (3) suy ra = ; = − ; = . + Với = ; = − ; = ta có phương trình −4 + 22 − 1 = 0 (∗∗). + Phương trình (∗∗) là phương trình trùng phương, là tập hợp các nghiệm của phương trình (∗∗). Vậy tổng các phần tử của tập bằng 0. PHẦN II: TỰ LUẬN Câu 36. Lời giải 2x 1 1 Ta có: f x 2x 1 f x 2 2x 1 2x 1 2x 1 1 1 f x 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 3 3 2x 1 2 3 2x 1 3 f x 3 . 2x 1 2x 1 3 2x 1 3 2x 1 5 Vậy f 1 3 . Câu 37. Lời giải Ta có f x 2x 3 f x 2. Do đó 4 f x 2x 5 f x x 1 2 25 x2 4 2x 3 2x 5 .2 x 1 2 25 x2 Trang 14
15. 1 x 2 2 8x 12 4x 10 x 1 2 25 x 3x 1 2 25 x 3 2 2 9x 6x 1 4 25 x 1 x 1 1 3 x x 3 3 x 3 x 3. 9x2 6x 1 100 4x2 13x2 6x 99 0 33 x 13 Câu 38. Lời giải Ta có y 3x2 6x 1. Gọi M x0; y0 là tiếp điểm. 3 2 2 Ta có x0 1 do đó y0 1 3.1 1 1 2 ; y (1) 3.1 6.1 1 2 . Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 là y y ' 1 x 1 2 y 2x . Câu 39. Lời giải SAB  SAC SA Ta có: SAB  ABCD SA  ABCD d S, ABCD SA . SAC  ABCD Vì ABCD là hình chữ nhật nên BC AD a 3 và ABC vuông tại B . Theo định lí Py-ta-go trong ABC vuông tại B có: 2 AC2 AB2 BC2 a2 a 3 4a2 AC 2a . Theo định lí Py-ta-go trong SAC vuông tại A ( SA  ABCD SA  AC ) có: Trang 15
16. 2 2 SA2 SC2 AC2 a 5 2a a2 SA a . Vậy d S, ABC a . Trang 16