Kiểm tra học kì 2 môn Toán Lớp 11 - Đề 17 (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Kiểm tra học kì 2 môn Toán Lớp 11 - Đề 17 (Có lời giải chi tiết)

1. KIỂM TRA HỌC KỲ II Môn: TOÁN - Lớp 11 - Chương trình chuẩn ĐỀ SỐ 17 Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Mã đề thi Họ và tên thí sinh: SBD: I. TRẮC NGHIỆM. 6n 2021 Câu 1. Tính lim . 3n 1 2021 A. 2021. B. 2 . C. 6. D. . 3 Câu 2. Tính lim n3 3n 7 . A. . B. . C. 7 . D. 9 . Câu 3. Tính giới hạn lim x2 4x 1 x x A. 2. B. 2. C. . D. 1. 2x2 x 3 Câu 4. Tính giới hạn lim x x3 1 A. 2. B. 0. C. . D. 3. Câu 5. Giá trị của lim 2x2 3x 2 bằng x 1 A. 2 . B. 1. C. . D. 0 . x 1 Câu 6. Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm 0 . 2x 1 x x 1 2 y y y y x 1 x 2 2 A. . B. x 1 . C. x 1 . D. x 1 . a c b 1 Câu 7. Cho các số thực a,, b c thỏa mãn . Số giao điểm của đồ thị hàm số a b c 1 0 f x x3 ax2 bx c với Ox là A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Câu 8. Số gia y của hàm số f x x3 1 tại x 1 ứng với biến số x 1 là 0 A. 1. B. 1. C. 0 . D. 2 . x2 khi x 1 Câu 9. Cho hàm số f() x 2 . Với giá trị nào sau đây của a, b thì hàm số có đạo hàm tại ax b khi x 1 x 1? 1 1 1 1 1 1 A. a 1;b . B. a ;b . C. a ;b . D. a 1;b . 2 2 2 2 2 2 1 Câu 10. Cho hàm số f x . Đạo hàm của f tại x 2 là x 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 1 Câu 11. Đạo hàm của hàm số y 2x là: x Trang 1
2. 1 1 1 1 A. y' 2 2 . B. y' 2 2 . C. y' 2 . D. y' 2x 2 . x x x x 3 2x Câu 12. Đạo hàm của hàm số y là: x 1 5 5 5 5 A. 2 . B. 2 . C. . D. . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Câu 13. Cho hàm số y . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2x 3 1 5 5 1 A. y ' 2 . B. y' 2 . C. y' 2 . D. y ' . 2x 3 2x 3 2x 3 2x 3 2 Câu 14. Cho hàm số y 2x2 5x 9 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 4x 5 2x 5 A. y ' . B. y' . 2 2x2 5x 9 2x2 5x 9 1 4x 5 C. y' . D. y ' . 2 2x2 5x 9 2x2 5x 9 Câu 15. Cho hàm số f x x4 3x . Giá trị f 0 bằng A. 0. B. 1. C. 2 . D. 3. ax b Câu 16. Biết đồ thị hàm số y C ;, a b đi qua điểm A 2;0 và có hệ số góc của tiếp tuyến x 1 tại điểm B 0; 2 bằng 3.Tính S a b . A. 2 . B. 3. C. 0 . D. 2 . Câu 17. Đạo hàm của hàm số y x3 5 . x trên 0; bằng biểu thức nào sau đây? 7 5 5 7 5 1 A. x5 . B. 3x2 . C. 5 x2 . D. 3x2 . 2 2 x 2 x 2 2 x 2 x Câu 18. Hàm số nào sau đây có đạo hàm là cos 2x 1 1 1 A. y sin 2x 4 . B. y sin 2x 4 . C. y cos 2x . D. y sin 2x . 2 2 2 Câu 19. . Đạo hàm của hàm số y 2021sin x cos 2021x là: A. y 2021 cos x sin 2021x . B. y 2021 cos x 2021sin 2021x . C. y 2021 cos x sin 2021x . D. y 2021 cos x 2021sin 2021x . Câu 20. . Đạo hàm của hàm số y tan 2x là: 3 1 2 A. y . B. y . 2 2 cos 2x cos 2x 3 3 1 2 C. y . D. y . 2 2 cos 2x cos 2x 3 3 Câu 21. Cho hàm số f x sin4 2x cos4 2x , khi đó f' x bằng? A. 2sin 8x . B. 2 cos 8x . C. 2 cos8x . D. 2sin 8x . Trang 2
3. cos2 x x khi x 0 Câu 22. Cho hàm số f x , khi đó f ' f ' bằng sin2x khi x 0 4 A. 0 . B. . C. 1 . D. 1. Câu 23. Cho f x sin2 x cos2 x x . Khi đó f' x bằng A. 1 sin 2x . B. 1 2sin 2x . C. 1 sinx .cos x . D. 1 2sin 2x . Câu 24. Đạo hàm cấp hai của hàm số y f x xsin x 3 là biểu thức nào trong các biểu thức sau? A. f x 2cos x xsin x . B. f x xsin x . C. f x sin x x cos x . D. f x 1 cos x . Câu 25. Cho hàm số y sin 2x . Hãy chọn câu đúng. A. y 2 y 2 4 . B. 4y y 0. C. 4y y 0 . D. y y 'tan 2x .  Câu 26: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.'''' A B C D . Khi đó, vectơ bằng vectơ AB là vectơ nào dưới đây?     A. CD . B. BA'' . C. DC'' . D. BA. Câu 27: Trong không gian cho đường thẳng và điểm O . Qua O có mấy đường thẳng vuông góc với cho trước? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. Vô số. Câu 28: Cho hình chóp S. ABC có cạnh SA  ABC và đáy ABC là tam giác cân ở C . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và SB . Khẳng định nào sau đây sai? A. CH  SA. B. CH  SB . C. CH  AK . D. AK  SB . Câu 29. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc đáy. Mệnh đề nào sau đây sai? A. AC  SBD . B. BC  SAB . C. BD  SAC . D. CD  SAD . Câu 30. Cho hình chóp S. ABCD có SA  ABCD và đáy ABCD là hình vuông. Từ A kẻ AM  SB . Khẳng định nào sau đây đúng? Trang 3
4. A. AM  SBD . B. AM  SBC . C. SB  MAC . D. AM  SAD . Câu 31. Cho tứ diện ABCD có AB  BCD . Trong BCD vẽ các đường cao BE và DF cắt nhau ở O . Trong ADC vẽ DK  AC tại K . Khẳng định nào sau đây sai ? A. ADC  ABE . B. ADC  DFK . C. ADC  ABC . D. BDC  ABE . Câu 32. Cho tứ diện ABCD có AB AC và DB DC. Khẳng định nào sau đây đúng? A. AB  ADC . B. BC  AD. C. CD  ABD . D. AC  BD. Câu 33. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA  ABCD . Chọn nhận định SAI A. SAC  SBD . B. SAB  SBC . C. SCD  SAD . D. SBC  SCD . Câu 34. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách S đến đáy là? a 3 a 2 A. . B. . C. a 3. D. a 2. 2 2 Câu 35. Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng 1 . Khoảng cách từ A đến mặt đáy là 3 6 A. . B. 3 . C. . D. 6 . 2 3 II. TỰ LUẬN . u1 2 Câu 1. Cho dãy số ()u xác định bởi : 1 n u 2 ;n * n 1 un Tính giới hạn của dãy un . 1 x 1 x khi x 0 x Câu 2. Tìm các giá trị của m để hàm số f x liên tục tại x 0 ? 1 x m khi x 0 1 x 1 5 Câu 3. Một chất điểm chuyển động có quãng đường được cho bởi phương trình s t t 4 t3 t 2 10t 4 2 , trong đó t 0 với t tính bằng giây (s) và s tính bằng mét (m). Tính vận tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm chất điểm có gia tốc chuyển động nhỏ nhất. Câu 4. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD a 3 , SA  ABCD , SA a 3 . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SBD . HẾT Trang 4
5. BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.A 3.A 4.B 5.B 6.B 7.D 8.B 9.A 10.B 11.B 12.B 13.C 14.A 15.D 16.B 17.A 18.A 19.B 20.D 21.D 22.D 23.B 24.A 25.C 26.C 27.D 28.D 29.A 30.B 31.C 32.B 33.D 34.A 35.C HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT I. TRẮC NGHIỆM . 6n 2021 Câu 1. Tính lim . 3n 1 2021 A. 2021. B. 2 . C. 6. D. . 3 Lời giải 2021 6 6n 2021 6 0 Ta có: lim lim n 2. 1 3n 1 3 3 0 n Câu 2. Tính lim n3 3n 7 . A. . B. . C. 7 . D. 9 . Lời giải 3 3 3 7 3 Ta có: lim n 3n 7 lim n 1 2 3 vì lim(n ) và n n 3 7 lim 1 2 3 1 0. n n Câu 3. Tính giới hạn lim x2 4x 1 x x A. 2. B. 2. C. . D. 1. Lời giải lim x2 4x 1 x x 4x 1 lim x x2 4x 1 x 4x 1 lim x 4 1 x 1 x x x2 1 4 lim x x 4 1 1 1 x x2 4 2. 1 1 2x2 x 3 Câu 4. Tính giới hạn lim x x3 1 A. 2. B. 0. C. . D. 3. Trang 5
6. Lời giải 2 1 3 2 2x x 3 2 3 lim lim x x x 0 x x3 1 x 1 1 3 x Câu 5. Giá trị của lim 2x2 3x 2 bằng x 1 A. 2 . B. 1. C. . D. 0 . Lời giải Chọn B. x 1 Câu 6. Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm 0 . 2x 1 x x 1 2 y y y y x 1 x 2 2 A. . B. x 1 . C. x 1 . D. x 1 . Lời giải Chọn B. 2x 1 y x 1 x 1 Ta có x 1 không xác định tại 0 nên gián đoạn tại 0 . a c b 1 Câu 7. Cho các số thực a,, b c thỏa mãn . Số giao đi ểm của đồ thị hàm số a b c 1 0 f x x3 ax2 bx c với Ox là A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Dễ thấy, hàm số f x liên tục trên . lim f x x f 1 a b c 1 0 đồ thị hàm số có ít nhất 1 giao điểm với Ox trên khoảng ; 1 . f 1 a b c 1 0 đồ thị hàm số có ít nhất 1 giao điểm với Ox trên khoảng 1;1 . f 1 a b c 1 0 lim f x x f 1 a b c 1 0 đồ thị hàm số có ít nhất 1 giao điểm với Ox trên khoảng 1; . Vậy đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Câu 8. Số gia y của hàm số f x x3 1 tại x 1 ứng với biến số x 1 là 0 A. 1. B. 1. C. 0 . D. 2 . Lời giải Ta có: y f x0 x f x0 f 0 f 1 1 0 1. x2 khi x 1 Câu 9. Cho hàm số f() x 2 . Với giá trị nào sau đây của a, b thì hàm số có đạo hàm tại ax b khi x 1 x 1? 1 1 1 1 1 1 A. a 1;b . B. a ;b . C. a ;b . D. a 1;b . 2 2 2 2 2 2 Trang 6
7. Lời giải 1 Hàm số liên tục tại x 1 nên ta có a b . 2 f x f 1 Hàm số có đạo hàm tại x 1 nên giới hạn 2 bên của bằng nhau và ta có: x 1 1 f x f 1 ax b ax b a b a x 1 lim lim 2 lim lim lim a a x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x2 1 f x f 1 x 1 x 1 x 1 lim lim 2 2 lim lim 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1 2 1 Vậy a 1;b . 2 1 Câu 10. Cho hàm số f x . Đạo hàm của f tại x 2 là x 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải 1 1 f x f 2 x2 2 1 Câu 11. Đạo hàm của hàm số y 2x là: x 1 1 1 1 A. y' 2 2 . B. y' 2 2 . C. y' 2 . D. y' 2x 2 . x x x x Lời giải ' ' 1 1 1 Ta có : y' 2x 2x ' 2 2 . x x x 3 2x Câu 12. Đạo hàm của hàm số y là: x 1 5 5 5 5 A. 2 . B. 2 . C. . D. . x 1 x 1 x 1 x 1 Lời giải Ta có : ' ' ' 3 2x 3 2x . x 1 3 2x . x 1 2. x 1 3 2x 5 y' 2 2 2 . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Câu 13. Cho hàm số y . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2x 3 1 5 5 1 A. y ' 2 . B. y' 2 . C. y' 2 . D. y ' . 2x 3 2x 3 2x 3 2x 3 2 Lời giải x 1 ' 2x 3 x 1 2x 3 ' 2x 3 x 1 .2 2x 3 2x 2 5 y ' . 2x 3 2 2x 3 2 2x 3 2 2x 3 2 Câu 14. Cho hàm số y 2x2 5x 9 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? Trang 7
8. 4x 5 2x 5 A. y ' . B. y' . 2 2x2 5x 9 2x2 5x 9 1 4x 5 C. y' . D. y ' . 2 2x2 5x 9 2x2 5x 9 Lời giải 2 2x 5x 9 ' 4x 5 y ' . 2 2x2 5x 9 2 2x2 5x 9 Câu 15. Cho hàm số f x x4 3x . Giá trị f 0 bằng A. 0. B. 1. C. 2 . D. 3. Lời giải Ta có f x x4 3x f x 4x3 3 nên f 0 3 . ax b Câu 16. Biết đồ thị hàm số y C ;, a b đi qua điểm A 2;0 và có hệ số góc của tiếp tuyến x 1 tại điểm B 0; 2 bằng 3. Tính S a b . A. 2 . B. 3. C. 0 . D. 2 . Lời giải Vì đồ thị C đi qua điểm A 2;0 nên 2a b 0 1 . a b Ta có y y 0 a b . x 1 2 gt y 0 3 a b 3 2 . 2a b 0 a 1 Từ 1 và 2 ta được a b 3 b 2 Do đó S a b 3 . Câu 17. Đạo hàm của hàm số y x3 5 . x trên 0; bằng biểu thức nào sau đây? 7 5 5 7 5 1 A. x5 . B. 3x2 . C. 5 x2 . D. 3x2 . 2 2 x 2 x 2 2 x 2 x Lời giải Ta có y x3 5 . x ' ' y' x3 5 . x x3 5 x 1 y' 3x2 . x x3 5 2 x 7 5 y' x5 . 2 2 x Câu 18. Hàm số nào sau đây có đạo hàm là cos 2x 1 1 1 A. y sin 2x 4 . B. y sin 2x 4 . C. y cos 2x . D. y sin 2x . 2 2 2 Trang 8
9. Lời giải Ta có 1 y sin 2x 4 2 y' cos2x . Câu 19. . Đạo hàm của hàm số y 2021sin x cos 2021x là: A. y 2021 cos x sin 2021x . B. y 2021 cos x 2021sin 2021x . C. y 2021 cos x sin 2021x . D. y 2021 cos x 2021sin 2021x . Lời giải +) Ta có: y 2021sin x cos 2021x 2021 sin x ' cos 2021x . 2021 sin x 2021x sin 2021x 2021 cos x 2021sin 2021x Câu 20. . Đạo hàm của hàm số y tan 2x là: 3 1 2 A. y . B. y . 2 2 cos 2x cos 2x 3 3 1 2 C. y . D. y . 2 2 cos 2x cos 2x 3 3 Lời giải Ta có: 2x 3 2 + y . 2 2 cos 2x cos 2x 3 3 Câu 21. Cho hàm số f x sin4 2x cos4 2x , khi đó f' x bằng A. 2sin 8x . B. 2 cos 8x . C. 2 cos8x . D. 2sin 8x . Lời giải 2 1 1 cos8x Ta có f x sin2 2x cos2 2x 2sin2 2x .cos2 2x 1 sin2 4x 1 2 4 f' x 2sin 8x . cos2 x x khi x 0 Câu 22. Cho hàm số f x , khi đó f ' f ' bằng sin2x khi x 0 4 A. 0 . B. . C. 1 . D. 1. Lời giải Với x 0 , f' x cos2 x x ' 1 2sinx cos x 1 sin 2x f ' 1 Trang 9
10. Với x 0 , f' x sin 2x ' 2cos 2x f ' 0 4 f ' f ' 1 . 4 Câu 23. Cho f x sin2 x cos2 x x . Khi đó f' x bằng A. 1 sin 2x . B. 1 2sin 2x . C. 1 sinx .cos x . D. 1 2sin 2x . Lời giải Ta có f x sin2 x cos2 x x cos2x x f' x 2sin 2x 1. Câu 24. Đạo hàm cấp hai của hàm số y f x xsin x 3 là biểu thức nào trong các biểu thức sau? A. f x 2cos x xsin x . B. f x xsin x . C. f x sin x x cos x . D. f x 1 cos x . Lời giải Ta có y f x xsin x 3 sin x xcos x Vậy y f x sin x x cos x 2cos x x sin x . Câu 25. Cho hàm số y sin 2x . Hãy chọn câu đúng. A. y 2 y 2 4 . B. 4y y 0. C. 4y y 0 . D. y y 'tan 2x . Lời giải Tập xác định D . Ta có y 2cos 2x và y 4sin 2x . 4y y 4sin 2x 4sin 2x 0.  Câu 26: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.'''' A B C D . Khi đó, vectơ bằng vectơ AB là vectơ nào dưới đây?     A. CD . B. BA'' . C. DC'' . D. BA. Lời giải B' C' A' D' B C A D   Dễ dàng thấy AB DC'' . Câu 27: Trong không gian cho đường thẳng và điểm O . Qua O có mấy đường thẳng vuông góc với cho trước? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. Vô số. Trang 10
11. Lời giải Qua điểm O có thể dựng vô số đường thẳng vuông góc với , các đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với . Câu 28: Cho hình chóp S. ABC có cạnh SA  ABC và đáy ABC là tam giác cân ở C . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và SB . Khẳng định nào sau đây sai? A. CH  SA. B. CH  SB . C. CH  AK . D. AK  SB . Lời giải Do ABC cân tại C nên CH  AB . Suy ra CH  SAB . Vậy các câu A, B, C đúng nên D sai. Câu 29. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc đáy. Mệnh đề nào sau đây sai? A. AC  SBD . B. BC  SAB . C. BD  SAC . D. CD  SAD . Lời giải Ta có: BC  AB + BC  SAB . BC  SA CD  AD + CD  SAD . CD  SA BD  AC + BD  SAC . BD  SA Suy ra: đáp án A sai. Trang 11
12. Câu 30. Cho hình chóp SABCD . có SA  ABCD và đáy ABCD là hình vuông . T ừ A kẻ AM  SB . Khẳng định nào sau đây đúng? A. AM  SBD . B. AM  SBC . C. SB  MAC . D. AM  SAD . Lời giải Do SA  ABCD SA  BC 1 . Do ABCD là hình vuông nên BC  AB 2 . Từ 1 , 2 BC  SAB BC  AM 3 . Theo giả thiết, ta có AM  SB 4 . Từ 3 , 4 AM  SBC . Câu 31. Cho tứ diện ABCD có AB  BCD . Trong BCD vẽ các đường cao BE và DF cắt nhau ở O . Trong ADC vẽ DK  AC tại K . Khẳng định nào sau đây sai ? A. ADC  ABE . B. ADC  DFK . C. ADC  ABC . D. BDC  ABE . Lời giải CD  BE CD  ABE    ADC  ABE CD  AB 1. Ta có  CD  ADC  . Vậy A đúng. DF  BC DF  ABC  DF  AC  AC  DFK      ADC  DFK DF  AB DK  AC 2.  AC  ABC   AC  ADC  Vậy B đúng. CD  BE CD  ABE    BDC  ABE CD  AB CD  BDC 3. Ta có   . Vậy D đúng. 4. Vậy C sai. Câu 32. Cho tứ diện ABCD có AB AC và DB DC. Khẳng định nào sau đây đúng? A. AB  ADC . B. BC  AD. C. CD  ABD . D. AC  BD. Trang 12
13. Lời giải Gọi M là trung điểm của BC . AB AC BC  AM BC  ADM BC  AD. DB DC BC  DM Chọn đáp án B. Câu 33. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA  ABCD . Chọn nhận định SAI A. SAC  SBD . B. SAB  SBC . C. SCD  SAD . D. SBC  SCD . Lời giải BD  SAC SAC  SBD . BD  SBD BC  SAB SAB  SBC . BC  SBC CD  SAD SAD  SCD . CD  SCD Chọn đáp án D. Câu 34. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách S đến đáy là? a 3 a 2 A. . B. . C. a 3. D. a 2. 2 2 Lời giải Trang 13
14. Vẽ đường cao SH của tam giác SAB SAB  ABC AB SAB  ABC SH  ABC . SH  AB SH  SAB Vậy khoảng cách từ S xuống ABC chính là đường cao SH của tam giác đều SAB cạnh bẳng a. a 3 Khi đó SH . 2 Câu 35. Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng 1 . Khoảng cách từ A đến mặt đáy là 3 6 A. . B. 3 . C. . D. 6 . 2 3 Lời giải Kẻ đường trung tuyến BM . Tam giác BCD đều nên BM cũng là đường cao. G là trọng tâm tam giác BCD. ABCD là tứ diện đều nên AG  BCD . Vậy khoảng cách từ A đến đáy chính là AG . 3 BM là đường cao của tam giác đều nên BM . 2 2 2 3 3 BG BM . 3 3 2 3 Trang 14
15. 1 6 Áp dụng Pytago trong tam giác AGB vuông tại G có AG AB2 BG2 1 . 3 3 6 Vậy khoảng cách từ A tới đáy là AG . 3 II. TỰ LUẬN . u1 2 Câu 1. Cho dãy số ()u xác định bởi : 1 n u 2 ;n * n 1 un Tính giới hạn của dãy un . Lời giải 1 3 2 1 3 1 4 1 Ta có: u 2;u 2 ; u ;u . 1 2 2 2 2 3 3 4 4 n 1 Từ đó dự đoán u , n * (*) n n Chứng minh (*) bằng phương pháp quy nạp : Với n 1 u1 2 (đúng ). k 1 Giả sử (*) đúng với n k( k 1) nghĩa là u k k k 2 Ta chứng minh (*) đúng khi n k 1.Nghĩa là ta phải chứng minh :u k 1 k 1 1 1 k 2 Thật vậy theo bài ra và giả thiết quy nap ta có u 2 2 đúng , k 1 k 1 uk k 1 k nghĩa là (*)cũng đúng với n k 1. n 1 n 1 Vậy u ;n N * . Ta có limu lim 1. Vậy limu 1. n n n n n 1 x 1 x khi x 0 x Câu 2. Tìm các giá trị của m để hàm số f x liên tục tại x 0 ? 1 x m khi x 0 1 x Lời giải f 0 m 1. 1 x lim f x lim m m 1. x 0 x 0 1 x 1 x 1 x 2x 2 lim f x lim lim lim 1. x 0 x 0 x x 0 x 1 x 1 x x 0 1 x 1 x Để hàm liên tục tại x 0 thì lim f x lim f x f 0 m 1 1 m 2 . x 0 x 0 Vậy m 2 thỏa mãn đề bài. 1 5 Câu 3. Một chất điểm chuyển động có quãng đường được cho bởi phương trình s t t 4 t3 t 2 10t 4 2 , trong đó t 0 với t tính bằng giây (s) và s tính bằng mét (m). Tính vận tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm chất điểm có gia tốc chuyển động nhỏ nhất. Trang 15
16. Lời giải Gọi v t , a t lần lượt là vận tốc và gia tốc của chất điểm. 3 2 v t s t t 3t 5t 10 Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm, ta suy ra . 2 a t v t 3t 6t 5 Mà a t 3t 2 6t 5 3 t 1 2 2 2 với mọi t , dấu “ ” xảy ra khi chỉ khi t 1. Suy ra gia tốc chuyển động của chất điểm nhỏ nhất bằng 2 khi t 1. Vận tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm gia tốc nhỏ nhất là v 1 1 3 3 12 5 1 10 13 m/ s . Câu 4. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD a 3 , SA  ABCD , SA a 3 . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SBD . Lời giải d C, SBD CO Ta có AC  SBD O nên 1 (vì O là trung điểm AC ) d A, SBD AO Suy ra d C, SBD d A, SBD . Gọi H , I lần lượt là hình chiếu của A lên BD , SH , ta có AI  SH AI  BD BD  AH, BD  SA BD  SAH BD  AI Suy ra AI  SBD (vì SH  BD H và SH, BD  SBD ). Suy ra d A, SBD AI . Xét tam giác ABD vuông tại A với AH là đường cao, ta có AB AD a a 3 a 3 AH . AB2 AD2 3a2 a2 2 Xét tam giác SAH vuông tại A với AI là đường cao, ta có a 3  a 3 AH AS a 15 AI 2 . AH 2 AS 2 3a2 5 3a2 4 a 15 Vậy khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SBD bằng . 5 Trang 16