Kiểm tra học kì 2 môn Toán Lớp 11 - Đề 4 (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Kiểm tra học kì 2 môn Toán Lớp 11 - Đề 4 (Có lời giải chi tiết)

1. KIỂM TRA HỌC KỲ II Môn: TOÁN - Lớp 11 - Chương trình chuẩn ĐỀ SỐ 4 Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Mã đề thi Họ và tên thí sinh: SBD: PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. Cho hai hàm số f x liên tục tại điểm x0 . Đạo hàm của f x tại điểm x0 là f x h f x h A. lim 0 0 (nếu tồn tại giới hạn). h 0 h B. f x0 . f x h f x C. lim 0 0 (nếu tồn tại giới hạn). h 0 h f x h f x D. 0 0 . h Câu 2. Đạo hàm cấp 2 hàm số y sinx có đạo hàm cấp hai là? A. y cos x . B. y cos x . C. y sinx . D. y s inx . Câu 3. Đạo hàm của hàm số y sin 2x bằng biểu thức nào sau đây? 2 A. cos 2x . B. 2cos 2x . 2 2 C. 2cos 2x . D. cos 2x . 2 2 2x 1 Câu 4. Cho hàm số y . Khi đó y 0 bằng x 3 7 7 7 1 A. . B. . C. . D. . 3 9 9 3 Câu 5. Khẳng định nào sau đây đúng? A. lim x3 3x . B. lim x3 3x 3. x x C. lim x3 3x 1. D. lim x3 3x . x x Câu 6. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 3x2 1 tại điểm A(3;1) có hệ số góc là A. 3 . B. 3 . C. 9 . D. 9 . Câu 7. Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a; b và x0 a; b . Hàm số y f x được gọi là liên tục tại x0 nếu A. lim f() x b . B. lim f() x f() x0 . x x0 x x0 C. lim f() x x0 . D. lim f() x a. x x0 x x0 2n 2017 Câu 8. Tính giới hạn I lim . 3n 2018
2. 2017 2 3 A. I . B. I 1. C. I . D. I . 2018 3 2 Câu 9. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng ABC . a 3 A. a 6 . B. . C. a 3 . D. 2a 3 . 2 Câu 10. Khối chóp đều S. ABCD có mặt đáy là A. Hình vuông. B. Hình bình hành. C. Hình chữ nhật. D. Hình thoi. Câu 11. Tính đạo hàm của hàm số = ( − 5). A. = −5( − 5). B. = 4( − 5). C. = ( − 5). D. = −20( − 5). x 2 Câu 12. Tính giới hạn lim ta được kết quả là x 2 x 1 A. 3. B. 1. C. 2. D. 4. Câu 13. Tính vi phân của hàm số = . A. d = − d. B. d = d. () () C. d = − d. D. d = − d. () () 3 5 4 Câu 14. Tính đạo hàm của hàm số y x . x 2 5 4 4 4 5 4 4 4 A. y ' 3 x . 5x 2 . B. y ' 3 x . 5x 2 . x x x x 2 5 4 4 4 5 4 4 4 C. y ' 3 x . 5x 2 . D. y ' 3 x . 5x 2 . x x x x Câu 15. Trong không gian cho hai đường thẳng a và b lần lượt có vectơ chỉ phương là u, v . Gọi là góc giữa hai đường thẳng a và b . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. (,).u v B. cos cos u , v . C. Nếu a và b vuông góc với nhau thì u. v sin . D. Nếu a và b vuông góc với nhau thì u. v 0. Câu 16. Biết lim = 5; lim = ; lim( + 3) = 2019, khi đó a bằng A. 671. B. . . D. . C. Câu 17. Cho hình hộp ABCD. A B C D . Chọn đẳng thức vectơ đúng?         A. DB DA DD DC . B. AC AC AB AD .         C. DB DA DD DC . D. AC AB AB AD . Câu 18. Cho hình chóp S. ABCD có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng nhau và ABCD là hình vuông. Khẳng định nào sau đây đúng. A. AC  SBD . B. AC  SBC . C. AC  SCD . D. SA  ABCD . Câu 19. Cho hàm số = sin. Rút gọn biểu thức = ′′ + 9. A. = 6cos. B. = − 6sin. C. = sin. D. = 6sin. Câu 20. Một chất điểm chuyển động thẳng quãng đường được xác định bởi phương trình s t 3 3t 2 5 trong đó quãng đường s tính bằng mét m , thời gian t tính bằng giây s . Khi đó gia tốc tức thời của chuyển động tại giây thứ 10 là A. 60 m/ s2 . B. 6 m/ s2 . C. 54 m/ s2 . D. 240 m/ s2 .
3. x3 Câu 21. Cho hàm số y 3x2 2 có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C biết tiếp 3 tuyến có hệ số góc k 9 . A. y 16 9 x 3 . B. y 16 9 x 3 . C. y 16 9 x 3 . D. y 9 x 3 .   Câu 22. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A B C , gọi M là trung điểm cạnh bên BB . Đặt CA a , CB b ,  CC c . Khẳng định nào sau đây là đúng ?  1  1 A. AM a b c . B. AM a b c . 2 2  1  1 C. AM a b c . D. AM a b c . 2 2 x 7 3 Câu 23. Giới hạn lim bằng : x 2 x2 4 1 1 1 A. . B. . C. . D. 0 . 6 24 4 Câu 24. Cho hình chóp . có đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc của lên ()là trung điểm của cạnh . Biết đều, tính góc giữa và (). A. 60°. B. 45°. C. 90°. D. 30°. 1 Câu 25. Đạo hàm của hàm số y sin 2x cos x tại x bằng 2 0 2 A. 2. B. 2. C. 0 . D. 1. Câu 26. Số gia của hàm số f x x2 4x 1 ứng với x và x là A. x x 2x 4 . B. 2x x . C. x. 2x 4 x . D. 2x 4 x . Câu 27. Cho hàm số f x 3 cos x sinx 2x . Phương trình f x 0 có nghiệm là A. x k2 , k . B. x k2 , k . 6 2 2 C. x k2 , k . D. x k2 , k . 3 3 Câu 28. Cho hình lập phương . ′′′′ cạnh . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ′ và ′. √ √ A. . B. . C. √2. D. 2. Câu 29. Hàm số nào sau đây liên tục trên ? x 1 A. y x . B. y . C. y x2 2x 3. D. y tan x . x 1 Câu 30. Cho hàm số () = + 2 − 3. Tìm để ′() > 0. A. > 0. B. < −1. C. < 0. D. −1 < < 0. Câu 31. Cho hình lập phương . . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ ⃗ và ⃗? A. 60°. B. 45°. C. 120°. D. 90°. Câu 32. Cho hàm số f x x3 3mx2 12x 3 với m là tham số thực. Số giá trị nguyên của m để f x 0 với mọi x là A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 1.
4. Câu 33. Cho hình chóp . có đáy là hình thang vuông tại và . Biết = = 1, = 2. Các mặt chéo () và () cùng vuông góc với mặt đáy (). Biết góc giữa hai mặt phẳng () và () bằng 60°. Bán kính mặt cầu tâm tiếp xúc với mặt phẳng () bằng √ √ A. . B. √3. C. . D. 2√3. 3 ax 1 1 bx Câu 34. Biết rằng b 0, a b 5và lim 2 . Khẳng định nào dưới đây sai? x 0 x A. a b 0 . B. a2 b2 10 . C. a2 b2 6 . D. 1 a 3 . Câu 35. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên . Gọi 1, 2 lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 y f x và y g x 3x . f 3x 4 tại điểm có hoành độ bằng 2 . Biết 1 vuông góc với 2 và 0 f 2 1. Khi đó, 1 và 2 lần lượt có phương trình là 3 2 3 11 3 1 2 A. : y x , : y 2 3 x . B. : y x , : y 6 x 24. 1 6 3 2 3 1 6 3 2 3 13 3 1 4 C. : y x , : y 2 3 x . D. : y x , : y 6 x . 1 6 2 3 1 6 3 2 PHẦN II: TỰ LUẬN 4 Câu 36. Tính đạo hàm của các hàm số y 5x2 4x 1 7x 3 5 . Câu 37. Cho hàm số f x 2cos2 4x 1 . Chứng minh rằng: f' x 8,x . 1 Câu 38. Tìm đạo hàm của hàm số sau f x . 3x 1 3x Câu 39. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD . HẾT
5. HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP ÁN CHI TIẾT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C D B C A D B C C A B D D B D D A A 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 D C B A B B A A C A C A B C B C D PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. Lời giải Chọn C Theo định nghĩa của đạo hàm B đúng. Câu 2. Lời giải Chọn D y sin x y cos x y sin x . Câu 3. Lời giải Chọn B Ta có y sin 2x y 2x cos 2x 2cos 2x . 2 2 2 2 Câu 4. Lời giải Chọn C 7 7 Ta có: y y 0 . x 3 2 9 Câu 5. Lời giải Chọn A 3 3 3 3 3 Ta có: lim x 3x lim x 1 2 (Vì lim x và lim 1 2 1). x x x x x x Câu 6. Lời giải Chọn D Ta có: y ' f'( x ) 3x2 6x Hệ số góc của tiếp tuyến của hàm số y x3 3x2 1 tại điểm A(3;1) là: f '(3) 3.32 6.3 9. Câu 7. Lời giải Chọn B Dựa vào ĐỊNH NGHĨA 1 SGK Đại số và Giải tích 11 (trang 136): “Cho hàm số y f x xác định trên khoảng K và x0 K . Hàm số y f x được gọi là liên tục tại x0 nếu lim f() x f() x0 ”. x x0 Ta thay khoảng K bởi khoảng a; b sẽ được mệnh đề đúng. Câu 8. Lời giải Chọn C
6. 2017 2 2n 2017 2 Ta có I lim lim n . 2018 3n 2018 3 3 n Câu 9. Lời giải Chọn C S A B H C Trong SAB , kẻ SH  AB 2a 3 vì SAB  ABC SH  ABC d S, ABC SH a 3 2 (do tam giác SAB đều cạnh 2a ). Câu 10. Lời giải Chọn A Vì SABCD . là khối chóp đều suy ra ABCD là tứ giác đều. V ậy ABCD là hình vuông. Câu 11. Lời giải Chọn B Áp dụng công thức () = . Ta có = 4( − 5). ( − 5) = 4( − 5). Câu 12. Lời giải Chọn D x 2 2 2 Dễ thấy lim 4. x 2 x 1 2 1 Câu 13. Lời giải Chọn D Ta có = ⇒ ′ = − . () Vậy d = d = ′d = − d. () Câu 14. Lời giải Chọn B
7. 2 2 5 4 4 1 5 4 4 4 y ' 3 x . 5x 4. 2 3 x . 5x 2 . x x x x Câu 15. Lời giải Chọn D Câu 16. Lời giải Chọn D +) Ta có lim( + 3) = lim + 3lim = 5 + 3màlim( + 3) = 2019 2014 ⇒ 5 + 3 = 2019 ⇔ = . 3 Câu 17. Lời giải Chọn A     Theo quy tắc hình hộp ta có DB DA DD DC . B' C' A' D' B C A . D Câu 18. Lời giải Chọn A Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Do hình chóp S. ABCD là hình chóp đều nên SO  ABCD SO  AC 1 . Lại do ABCD là hình vuông nên AC  BD 2 Từ (1) và (2) ta suy ra AC  SBD . Câu 19. Lời giải Chọn D Ta có = sin ⇒ ′ = 3sin. cos và ′′ = 6sin. cos − 3sin. Khi đó = ′′ + 9 = 6sin. cos − 3sin + 9sin = 6sin(sin + cos) = 6sin. Câu 20.
8. Lời giải Chọn A Ta có v() t s ( t ) 3t 2 6t ; a() t v ( t ) 6t 6 . Gia tốc chuyển động tại giây thứ 10 là a(10) v (10) 6.10 6 54 (m / s2 ) . Câu 21. Lời giải Chọn B Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm. x3 Ta có: y 3x2 2 y x2 6x . 3 2 Vì tiếp tuyến có hệ số góc k 9 y x0 9 x0 6x0 9 x0 3 y0 16. Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị C là: y y0 k x x0 y 16 9 x 3 . Câu 22. Lời giải Chọn A  1   1     1    Ta có: AM AB AB CB CA CB CA CB CB 2CA . 2 2 2    Theo quy tắc hình bình hành ta lại có: CB CC CB .  1      1  1 Do đó: AM 2CB CC 2CA CA CB CC a b c . 2 2 2 Câu 23. Lời giải Chọn B x 7 3 x 2 1 1 lim lim lim . x 1 x2 4 x 2 x 2 x 2 x 7 3 x 2 x 2 x 7 3 24 Câu 24. Lời giải Chọn B
9. S B M C A Gọi là trung điểm của . Khi đó góc giữa và ()là góc giữa và . Tam giác vuông tại có = = √nên = 45°. Câu 25. Lời giải Chọn A Ta có y ' cos 2x sin x . Nên y ' cos sin 1 1 2 . 2 2 Câu 26. Lời giải Chọn A Ta có: y f x x f x x x 2 4 x x 1 x2 4x 1 x2 2 x. x x2 4 x 4x 1 x2 4x 1 x2 2 x. x 4 x x x 2x 4 . Câu 27. Lời giải Chọn C Ta có: f x 3 sin x cos x 2 3 1 f x 0 3 sin x cos x 2 0 3 sin x cos x 2 sin x cos x 1 2 2 2 sin x 1 x k2 x k2 . 6 6 2 3 Câu 28. Lời giải Chọn A
10. . ′′′′ là hình lập phương ⇒ ′ // ′ ⇒ ′ // (′); ′ ⊂ (′) ⇒ (′ ; ′) = ′ ; (′) = ; (′) = ; (′) = ℎ. . Tứ diện . ′ có , , ′ đôi một vuông góc. ⇒ = + + = ⇒ ℎ = √. Câu 29. Lời giải Chọn C Ta có hàm số y x2 2x 3 là hàm đa thức nên xác định và liên tục trên . x 1 Hàm y x xác định trên 0; , hàm số y xác định trên \ 1 , hàm số y tan x xác định với x 1 mọi x k k nên không liên tục trên . 2 Câu 30. Lời giải Chọn A ′() = 4 + 4 = 4( + 1) Vì 2 + 1 > 0, ∀ Nên ′() > 0 ⇔ > 0. Câu 31. Lời giải Chọn B H G E F D C A B
11. . Vì cos(, ) = = (là hình chữ nhật) nên ⃗, ⃗ = ⃗, ⃗ = = 45 (là . hình vuông). Câu 32. Lời giải Chọn C Ta có f x 3x2 6mx 12. 3 0 với mọi x 2 m 2 . f x 0 2 9m 36 0 Vậy có 5 giá trị nguyên của m để f x 0 với mọi x . Câu 33. Lời giải Chọn B Gọi là giao điểm của và . Vì () và () cùng vuông góc với mặt đáy () nên ⊥ (). Trong (), kẻ ⊥ tại . Khi đó, [(), ()] = = 60°. Gọi là bán kính mặt cầu tâm tiếp xúc với mặt phẳng (). ⇒ = d[, ()] (1). [ ] Mà ∩ () = {} ⇒ ,() = = = 1 + = 1 + = 1 + 2 = 3. [,()] ⇒ d[, ()] = 3. d[, ()] (2). Xác định d[, ()]: ⊥ Vì ⇒ ⊥ () ⇒ () ⊥ (). ⊥ () ⊥ () ( ) ( ) Trong (), kẻ ⊥ tại . Ta có ∩ = ⇒ ⊥ (). ⊂ () ⊥ ⇒ d[, ()] = (3). Tính : Ta có = = 1 ⇒ = = 2 ⇒ = . sin60° = √3 (4). 3 3 3 3 Tính : √ Từ (1), (2), (3), (4) ⇒ = 3 ⋅ = √3. Câu 34. Lời giải
12. Chọn C 3 3 ax 1 1 bx ax 1 1 1 1 bx Ta có lim lim x 0 x x 0 x 3 ax 1 1 1 1 bx lim x 0 x x 3 3 2 3 ax 1 1 ax 1 ax 1 1 1 1 bx 1 1 bx lim x 0 x 3 ax 1 2 3 ax 1 1 x 1 1 bx ax 1 1 1 1 bx a b lim lim x 0 2 3 x 0 2 3 x 3 ax 1 ax 1 1 x 1 1 bx 3 ax 1 ax 1 1 1 1 bx a b . 3 2 Ta có a b 2 a 3 3 2 . b 2 a b 5 Nên a2 b2 9 4 5 6 là mệnh đề sai. Câu 35. Lời giải Chọn D Hàm số y f x có đạo hàm trên và y g x 3x2 . f 3x 4 nên ta có: g x 6x . f 3x 4 9x2 . f 3x 4 , x . Suy ra g 2 12.f 2 36. f 2 . 2 Theo đầu bài, 1, 2 lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x , y g x 3x . f 3x 4 tại điểm có hoành độ bằng 2 và 1  2 nên ta có: 1 f 2 .g 2 1 f 2 12.f 2 36. f 2 1 f 2 3. f 2 . 12. f 2 Hơn nữa, 0 f 2 1 nên f 2 0 . Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: 1 1 f 2 3. f 2 2 3. f 2 1. 12. f 2 12. f 2 1 2 1 Do đó, f 2 1. Dấu "" xảy ra khi 3. f 2 f 2 , mà theo trên f 2 0 nên 12. f 2 36 1 1 f 2 . Suy ra, g 2 6 và g 2 3.22 f 2 12 . 6 f 2 1 1 4 Vậy, tiếp tuyến có phương trình: y f 2 x 2 f 2 x 2 1 x . 1 6 6 3 Tiếp tuyến 2 có phương trình: y g 2 x 2 g 2 6 x 2 12 6x . PHẦN II: TỰ LUẬN
13. Câu 36. Lời giải 4 5 5 4 Ta có: y 5x 2 4x 1 7x 3 7x 3 5x2 4x 1 . 3 4 y 4 5x2 4x 1 10x 4 7x 3 5 5 7x 3 4 .7. 5x2 4x 1 . 3 2 4 2 y 5x 4x 1 7x 3 4 10x 4 7x 3 35 5x 4x 1 . 3 y 5x2 4x 1 7x 3 4 455x2 132x 83 . Câu 37. Lời giải Ta có: f' x 16sin 4x 1 cos 4x 1 8sin 8x 2 f' x 8sin 8x 2 8 sin 8x 2 8 1 k sin 8x 2 1 8x 2 k2 x 2 16 4 8 Dấu "" xảy ra khi: k 1 k sin 8x 2 1 8x 2 k2 x 2 16 4 8 Câu 38. Lời giải 1 3x 1 3x Ta có f x 3x 1 3x 3x 1 3x 3x 1 3x 3x 1 3x 3 3 f x 2 3x 1 2 3x 2 3x 1 2 3x Câu 39. Lời giải A B C G M D + Gọi M là trung điểm CD, G là trọng tâm BCD. + Tứ diện ABCD là tứ diện đều nên AG  BDC do đó d A, BDC AG . + ABG vuông tại G có AB a,
14. 2 2 2 a 3 a 3 2 2 2 a 3 a 6 a 6 BG BM . AG AB BG a .Vậy d A, BDC AG 3 3 2 3 3 3 3 (đvđd).